МЕДВОДДЗА СВЕДЕННЬӦЯС ГЕОМЕТРИЯЫСЬ
Велӧдысьяслы тӧд вылӧ.
КОЛАН ПОСОБЙӦЯСЛӦН СПИСОК
1. Ученическӧй циркульяс набор;
Масштабнӧй линейкаяс „
Чертёжнӧй куимпельӧсаяс „
Транспортиръяс (да процентнӧй транспортиръяс) набор.
2. Класснӧй предметъяс: циркуль, угольник да транспортир.
3. Модельяс:
1) куб, кублӧн павтыртас, кубическӧй дециметр, кодӧс юклӧма кубическӧй сантиметръяс вылӧ;
2) Веськыдпельӧса параллелепипед либӧ брус, диагональӧд вундӧм брус;
3) Подувтас судтаясӧд вундӧм куимпельӧса веськыд призма, диагональясӧд вундӧм унапельӧса призма;
4) Веськыд гӧгрӧс цилиндр, сылӧн павтыртас;
5) Шар да конус;
6) Дзиръя (шарнирнӧй) пельӧс;
7) Смежнӧй пельӧсъяс (дзиръяӧсь жӧ);
8) Паныда пельӧсъяс (дзиръяӧсь жӧ);
9) 16 либӧ 32 ӧтыджда сектор вылӧ юкӧм круг.
4. Миллиметрӧвӧй бумага.
I. ГЕОМЕТРИЧЕСКӦЙ ОСНОВНӦЙ ВЕЖӦРТАСЪЯС.
1 §. Физическӧй да геометрическӧй телӧ.
1. Миян гӧгӧр зэв уна быдсяма предметъяс, либӧ телӧяс; быдӧн найӧ занимайтӧны кутшӧмкӧ определённӧй юкӧн пространстволысь. Телӧяс торъялӧны мӧда-мӧдсьыныс материал сикасъяс серті, кодысь вӧчӧма телӧяссӧ: сьӧктаӧн, чорыдлунӧн, рӧмӧн, упругосьтӧн да с. в. Но телӧяслӧн эмӧсь нӧшта тӧдчӧсъяс (признакъяс), найӧ оз лоны материалсянь, кодысь телӧяссӧ вӧчӧма — сійӧ налӧн ыдждаыс да формаыс. Тайӧ бӧръя кык тӧдчӧсыс лоӧны сӧмын сы сайын, кутшӧм юкӧн пространствоыслысь босьтӧны (занимайтӧны) телӧясыс.
2. Телӧыс став тӧдчӧсъяснас (признакъяснас), кодъяс петӧны материалысь, мыйысь вӧчӧма сійӧ, шусьӧ физическӧй телӧӧн; физическӧй телӧяссӧ изучайтӧны естественнӧй наукаяс: физика, химия да мук. Геометрия жӧ изучайтӧ телӧяслысь ыдждасӧ да формасӧ, материалсӧ, мыйысь вӧчӧма сійӧ, тӧд вылӧ босьттӧг. Геометриялы веськодь, лоӧ-ӧ, шуам, куб формаа телӧ пилитӧма пуысь, вӧчӧма изйысь, сёйысь либӧ кутшӧмкӧ мукӧд сикас материалысь; сылы колӧны сӧмын формаыс да ыдждаыс телӧыслӧн; сідзкӧ геометрия изучайтігӧн колӧ велӧдчыны да кужны ортсыса тӧдчӧсъяс серти тӧдмавны телӧыслысь формасӧ.
3. Форма эм быд телӧлӧн. Форматӧм телӧ природаын абу. Шулывлӧны кӧ корсюрӧ «форматӧм телӧ пӧ», сійӧн кӧсйӧны висьтавны сӧмын, телӧыслӧн пӧ формаыс сэтшӧм, мый весиг он вермы урчитны, кутшӧм тӧдса формаа телӧ вылӧ сійӧ мунӧ.
4. Геометрияын ми кутам видлавны телӧяс, налысь физическӧй тӧдчӧсъяссӧ тӧд вылӧ босьттӧг, а сідзкӧ ми пондам тӧдмавны ог кутшӧмкӧ физическӧй телӧ, а сэтшӧм телӧ, кодлӧн быттьӧкӧ некутшӧм физическӧй свойствояс абуӧсь, но такӧд ӧттшӧтш, тайӧ колӧ торйӧн урчитны, сылӧн эм форма; татшӧм телӧыс шусьӧ геометрическӧй телӧӧн; сійӧ эм быд боксянь ограничитӧм пространство юкӧн, кодӧс занимайтӧма физическӧй телӧӧн. Сідзкӧ геометрическӧй телӧ эм быд боксянь ограничитӧм пространство юкӧн, сійӧс тыртысь веществоысь зависиттӧг.
5. Быд телӧын лоӧ куим главнӧй муртас: кузьта, пасьта да судта. Корсюрӧ тайӧ муртасъяс костсьыс ӧткымынӧс шулывлӧны и мӧд ногӧн: шуӧны юкмӧс джуджда, пӧв кызта, а оз шуны судта.
Быд телӧ позьӧ торйӧдлыны юкӧнъяс вылӧ. Телӧыслысь быд юкӧн торйӧн видлалігӧн ми аддзам, сійӧ сідзжӧ занимайтӧ кутшӧмкӧ определённӧй пространство юкӧн, а сідзкӧ сійӧ лоӧ телӧ жӧ.
Геометрическӧй телӧлӧн юкӧныс сідзжӧ эм геометрическӧй телӧ.
6. Видзӧдлам ӧти медся прӧстӧй геометрическӧй телӧ — куб (1-ой серпас).
Куб, кыдзи и быд телӧ, торйӧдсьӧ став мукӧд пространствосьыс аслас граничаяснас, аслас веркӧсӧн. Телӧлӧн граничаыс эм веркӧс (поверхносьт).
Телӧлӧн граничаыс эм веркӧс. Кублӧн веркӧсыс артмӧ торъя квайт юкӧнысь, либӧ граньясысь, а та вӧсна кубӧс позьӧ шуны квайтгранникӧн; быд грань кублӧн лоӧ плоскӧй веркӧс, либӧ прӧста плоскосьт.
Плоскосьтӧс ми вермам мӧвпавны быд боклань помтӧг муніг; кублӧн граньыс лоӧ сӧмын плоскосьтлӧн юкӧн. Плоскосьтлӧн свойствоыс лоӧ со мыйын: сы вылӧ век стӧч водӧ веськыд визь — линейка дорыш, кӧть кодарланьӧ сійӧс эн бергӧдлы плоскосьт вывтіыс (2-ӧд серпас). Дзик мӧд сикаса лоӧ веркӧсыс сярлӧн (3-ӧд серпас). Сылӧн веркӧсыс лоӧ шыгыра, абу плоскосьт, шыгыра веркӧскӧд веськыд визь — линейка дорыш — оз ӧтлаась.
7. Веркӧслӧн кык муртас: кузьта да пасьта. Веркӧссӧ, телӧӧс моз жӧ, позьӧ торйӧдны юкӧнъяс вылӧ; веркӧслӧн юкӧныс лоӧ веркӧс жӧ, сылӧн лоӧ сідзжӧ кык муртас: кузьта да пасьта.
Кублӧн быд грань вомӧнассьӧ (пересекайтчӧ) став мукӧд граньясыскӧд, паныда граньсьыс ӧтдор. Сідз, вылысса граньыс кублӧн (1-ой серпас) вомӧнасьӧ бокъясса нёль граньыскӧд, сӧмын сійӧ оз вомӧнась ӧти гранькӧд — улысса граньыскӧд.
8. Быд кык грань вомӧнасьӧны веськыд визьӧд; сійӧ шусьӧ грань дорӧн либӧ куб дорышӧн. Грань дорыш лоӧ граничаӧн, сійӧ торйӧдӧ ӧти грань мӧд граньысь, ӧти веркӧс мӧд веркӧсысь. Веркӧслӧн граничаыс лоӧ визь.
Визьяс овлӧны веськыдӧсь да чукляӧсь. Куб дорыш лоӧ веськыд визь, сяр веркӧс вывті нуӧдӧм любӧй визь лоӧ чукля визь. Визьлӧн сӧмын ӧти муртас — кузьта.
9. Куб дорышъяслӧн вомӧнасяніныс лоӧ чут; тайӧ чутыс шусьӧ куб йылӧн (вершина). Визьлӧн граничаыс эм чут; чутлӧн абу ньӧти муртас.
Телӧлӧн граничаыс — веркӧс, веркӧслӧн граничаыс — визь, визьлӧн граничаыс — чут.
Чутъяс, визьяс да веркӧсъяс лоӧны сӧмын телӧяслӧн. Но ми вермам мӧвпавны чутъяссӧ, визьяссӧ да веркӧсъяссӧ телӧяссьыс быттьӧкӧ босьтӧмӧн да видлавны найӧс телӧястӧгыс, торйӧн, аскежаныс.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Мый шусьӧ физическӧй телӧӧн?
2. Мый шусьӧ геометрическӧй телӧӧн?
3. Мый шусьӧ веркӧсӧн, визьӧн, чутӧн?
4. Кутшӧм свойствояс телӧлысь изучайтӧ геометрия?
5. Мыйӧн торъялӧ шыгыра веркӧс плоскӧй веркӧсысь?
2§. Куб, веськыдпельӧса параллелепипед, веськыд призма.
1. Куб. Кублӧн тӧдчӧсъяс (признакъяс). Кублӧн (1-ой серпас) со кутшӧм тӧдчӧсъяс, кодъяс торйӧдӧны сійӧс мукӧд формаа телӧясысь:
1) сійӧс торйӧдӧма став мукӧд пространствосьыс квайт бокӧн, квайт граньӧн;
2) любӧй кык паныда граньяс сылӧн оз ӧтлаасьны;
3) став граньясыс кублӧн мӧда-мӧдыскӧд ӧтыдждаӧсь, быд грань лоӧ плоскӧй веркӧс, либӧ прӧстӧ плоскосьт;
4) кык граньлӧн вомӧнасян визьыс лоӧ веськыд визь — куб дорыш, либӧ грань дор; кублӧн 12 дорыш; граньлӧн 4 дор;
5) кублӧн граньыс ограничитӧма тупкӧса (замкнутӧй) визьӧн, коді артмӧ торъя нёль ӧткодь дорысь; граньлӧн быд кык вомӧнасьысь доръясыс вӧчӧны веськыд пельӧс; татшӧм тупкӧса визьыс лоӧ геометрическӧй фигура, шусьӧ квадратӧн;
6) кублӧн кӧкъямыс йыв; быд йылын вомӧнасьӧны куим грань, а сідзжӧ кублӧн куим дорыш.
Улысса граньыс кублӧн шусьӧ куб улыс подувтасӧн, а сыкӧд паныда граньыс — вылыс подувтасӧн. Кублӧн мукӧд нёль граньыс шусьӧны бокъясса граньясӧн; найӧ артмӧдӧны кублысь бокса веркӧссӧ. Бокса веркӧс дінас кӧ содтыны кублысь улыс да вылыс подувтасъяссӧ, сэки лоӧ кублӧн тыр веркӧс.
Кубын сылӧн куимнан муртасыс — кузьта, пасьта да судта — ӧтыдждаӧсь мӧда-мӧдныскӧд: кузьта = пасьталы = судталы.
Куб формаӧн овлӧны уна предметъяс. Быдсяма стрӧйбаяс, налӧн юкӧнъяс, ящикъяс, ворсан кубикъяс да с. в.
2. Веськыдпельӧса параллелепипед. Сувтӧдам ӧти радӧ мӧда-мӧд бердас кымынкӧ ӧткодь куб, сэсся тайӧ рад бердас нӧшта содтам сы гырся кубъясысь жӧ тэчӧм рад (4-ӧд серпас), лоӧ сэтшӧм телӧ, кодлӧн формаыс мӧдас торъявны куб формаысь.
Сійӧ сідзжӧ лоӧ ограничитӧма квайт граньӧн, но граньясыс сылӧн оз лоны квадратъяс, а лоӧны веськыдпельӧсаяс; татшӧм телӧыс шусьӧ веськыдпельӧса параллелепипедӧн, либӧ брусӧн.
Веськыдпельӧса (прямоугольник) — сійӧ геометрическӧй фигура, кодӧс ограничитӧма нёльнан дорсяньыс гӧгӧртысь тупкӧса веськыд визьӧн; веськыдпельӧсалӧн доръясыс вомӧнасигас вӧчӧны веськыд пельӧс; мӧда-мӧдлы паныда доръясыс сылӧн ӧткодьӧсь (ӧтыдждаӧсь).
Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн бокъясса граньясыс абу ставныс ӧтыдждаӧсь мӧда-мӧдныскӧд; ӧтыдждаӧсь гозйӧн-гозйӧн мӧда-мӧдкӧд паныда граньясыс; ӧтыдждаӧсь сылӧн лоӧны сідзжӧ и улыс да вылыс подувтасъясыс. Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн дорышъясыс лоӧны со кутшӧмӧсь: гозйӧн-гозйӧн лоӧны ӧткузяӧсь кыкнан подувтасыслӧн мӧда-мӧдлы став паныда дорышъясыс да став бокъясса дорышъясыс.
Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн куимнан муртасыс мӧда-мӧдыскӧд абу ӧтыдждаӧсь.
Кӧрт туй вагонъяслӧн, ящикъяслӧн, комнатаяслӧн, балкаяслӧн да с. в. формаясыс веськыдпельӧса параллелепипед формааӧсь.
3. Правильнӧй нёльпельӧса веськыд призма. Квайт граня телӧ, кодлӧн кык подувтасыс — квадратъяс, а бокъясса граньясыс мӧда-мӧдыскӧд ӧтыджда веськыдпельӧсаяс, шусьӧ правильнӧй нёльпельӧса веськыд призмаӧн (5-ӧд серпас).
Веськыдпельӧса параллелепипед, кодлӧн мӧда-мӧдлы паныда кык граньыс квадратъяс, эм правильнӧй веськыд призма.
Правильнӧй веськыд призмалӧн сійӧ куим муртасысь кык муртасыс ӧтыдждаӧсь. Сувтӧдны кӧ призмасӧ сідзи, медым подувтасас лоӧ квадратыс, сэки кузьтаыс да пасьтаыс сылӧн (призмалӧн) лоӧны ӧткодьӧсь, а судтаыс лоӧ мӧд (5-ӧд серпас); сувтӧдны кӧ призмасӧ сідзи, медым подувтаснас сылӧн лоӧ бокса граньыс — веськыдпельӧса, сэки ӧтыдждаӧсь лоӧны сылӧн пасьтаыс да судтаыс, а кузьтаыс лоӧ мӧд (6-ӧд серпас).
4. Призмалӧн кӧ подувтасыс абу квадрат, а куим, вит, квайт либӧ унджык дора геометрическӧй фигура, бокӧвӧй граньясыс жӧ сылӧн — веськыдпельӧсаяс, сэки сійӧ шусьӧ, подувтас дор лыд сертиыс, куимпельӧса, витпельӧса, квайтпельӧса (7-ӧд серпас) либӧ унапельӧса веськыд призмаӧн.
Уна пельӧса призмаӧн лоӧны: граня карандаш да с. в.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс:
1. Кымын дорыс да кымын грань вомӧнасьӧны куб йылын?
2. Кутшӧм фигура лоӧ (представляйтӧ) кублӧн граньыс?
3. Висьтавны ортсыса став тӧдчӧсъяссӧ кублысь.
4. Кутшӧм телӧ шусьӧ веськыдпельӧса параллелепипедӧн? Мыйӧн сійӧ ӧтсяма кубкӧд да мыйӧн сыысь торъялӧ?
5. Мыйӧн торъялӧ квадратысь веськыдпельӧса?
6. Кутшӧм телӧ шусьӧ правильнӧй нёльпельӧса веськыд призмаӧн? Кутшӧм фигураӧн лоӧны сылӧн бокъясса граньясыс, сылӧн подувтасъясыс?
7. Позьӧ-ӧ куб да брус шуны призмаясӧн?
8. Кутшӧм призма шусьӧ унапельӧса веськыд призмаӧн?
9. Кымын грань, дорыш да йыв квайтпельӧса веськыд призмалӧн?
II. ВЕСЬКЫД ВИЗЬ.
1 §. Веськыд визь. Луч. Вундӧг. Чегласьӧм визь.
1. Став сикас визьяс костысь медтшӧкыда паныдасьлӧ веськыд визь. Зэлыда нюжӧдӧм сунис медся бура петкӧдлӧ веськыд визьтӧ. Кублӧн дорышъясыс — веськыд визьяс.
2. Практическӧй олӧмын вель тшӧкыда лолывлӧ нуӧдлыны веськыд визьястӧ. Кор плӧтниклы либӧ столярлы колӧ лӧсавны пӧв дор веськыд визьӧд, найӧ пӧльзуйтчӧны шнурӧн.
Шнурӧн пӧльзуйтчӧм петкӧдлӧма 8-ӧд серпас вылын. Муяс мурталігӧн лоӧ нуӧдлывлыны места вылас веськыд визьяс. Кыдзи сійӧ вӧчсьӧ, петкӧдлӧма 9-ӧд серпас вылын. Уджсӧ вӧчӧны кыкӧн. Войдӧр пасйӧны ёсьяс сутшкӧмӧн (вехаясӧн) кык чут A да B, кодъяс костын колӧ нуӧдны веськыд визьсӧ; сэсся ӧти уджалысьыс сувтӧ A майӧг дорас, а мӧдыс ёсьяснас мунӧ B майӧгланьыс да первойя уджалысь индӧм серти сутшкӧ А да B чутъяс костас ёсь C сідзи, медым сійӧ лои AB веськыд визь вылас, а тайӧ артмас, кор A чутсяньыс B ёсь вылас видзӧдігӧн C ёсьыс сайӧдас B ёсьсӧ. Тадзи жӧ сэсся кык чут костас сутшкалӧны мукӧд ёсьяссӧ (вехаяссӧ).
3. Чертёжнӧй уджъяс дырйи веськыд визьяссӧ нуӧдӧны чертёжнӧй линейка отсӧгӧн. Чертёжъяс вӧчигӧн лолывлӧ нуӧдавны визьяссӧ веськыдъясӧс и чукляясӧс да пасъявны чутъяс. Медым тӧдны, кутшӧм визь йылысь либӧ чут йылысь мунӧ сёрниыс, найӧс пасйӧны латинскӧй алфавит ыджыд шыпасъясӧн. Чутыс пасйыссьӧ ӧти шыпасӧн, сійӧ пуктыссьӧ чут бердас. 10-ӧд серпас вылын пасйӧма чутъяс — A, B да C. Веськыд визь пасйыссьӧ кык шыпасӧн, найӧс пуктӧны мӧда-мӧдсяньыс мыйкӧмында костӧн (11-ӧд серпас).
4. Веськыд визьлӧн эм аслас свойствояс. Ӧти чут пыр, шуам A чут пыр, позьӧ нуӧдны помтӧм лыда веськыд визьяс (12-ӧд серпас); ставныс найӧ мунӧны разнӧй вожъясӧд. Сетӧма кӧ нӧшта ӧти чут, шуам B чут, сэки став веськыд визьяссьыс, кодъяс мунӧны A чут пыр, сӧмын ӧти веськыд визь мунас B чут пыр — AB визь.
Векньыдик пӧвтор кӧ тувъявны стенӧ A тувйӧн, сэки пӧвйыслы позьӧ сетны кӧть кутшӧм направленньӧ (13-ӧд серпас). Но тувъялан кӧ пӧвторсӧ стенас нӧшта ӧти местаті B тувйӧн, сэки оз нин позь пӧвторйыслысь вежны направленньӧсӧ. Кык тув — A да B, кодъясӧн тувъялӧма пӧвторсӧ стенас, урчитӧны (определяйтӧны) сылысь положенньӧсӧ. Сідзкӧ опыт петкӧдлӧ, мый кык чут пыр — A да B пыр — позьӧ нуӧдны сӧмын ӧти веськыд визь.
Тайӧ веськыд визьлӧн основнӧй свойство; тасянь петӧны мукӧдъясыс:
1) Кык веськыд визь кӧ мунӧны кык ӧти чутъяс пыр (шуам, кыкнаныс A да B пыр), сэки найӧ вевсясьӧны асланыс став чутъяснаныс.
2) Кык веськыд визьлӧн кӧ эм сӧмын ӧти ӧтувъя чут, сэки найӧ вомӧнасьӧны.
Збыльысь ӧд, кык веськыд визь кӧ эськӧ вомӧнасисны не ӧти чутын, а кык чутын, сійӧ эськӧ петкӧдліс, мый кык чут пыр мунӧны кык разнӧй веськыд визьяс, а тайӧ оз вермы лоны; уна морт нэм чӧжся опытысь ми тӧдам, мый кык чут пыр оз позь нуӧдны кык разнӧй веськыд визь, а позьӧ нуӧдны сӧмын ӧти веськыд визь. Чутыс, кӧні вомӧнасьӧны кык веськыд визь, шусьӧ найӧ вомӧнасян чутӧн.
3) Веськыд визьӧс позьӧ помтӧг нюжӧдны кыкнанладорас.
5. Веськыд визь вылын кӧ босьтны кӧнкӧ-нибудь чут, сійӧ торйӧдас веськыд визьсӧ кык пельӧ, кык юкӧнӧ, быд торъя юкӧн шусьӧ лучӧн.
Луч лоӧ ӧтар дорсяньыс ограничитӧм веськыд визь. Луч пасйыссьӧ кык шыпасӧн, гижигӧн воддза местаас пуктӧны шыпассӧ чут бердас, кытысь лучыс петӧ. 14-ӧд серпас вылын AB, AC, AE да AF лучьясыс петӧны A чутысь.
6. Веськыд визьсӧ кӧ ограничитӧма кыкнанладорсяньыс, сэки сійӧ шусьӧ вундӧгӧн (отрезок). AB лоӧ MN веськыд визьлӧн вундӧг (15-ӧд серпас). Вундӧг эм кыкнанладорсяньыс ограничитӧм веськыд визьлӧн юкӧн.
Веськыд визьлӧн вундӧг пасйыссьӧ кык ыджыд шыпасӧн, шыпасъясыс пуктыссьӧны вундӧг помъясас, шуам, AB вундӧг. Веськыд визь вундӧг тшӧкыда пасйыссьывлӧ и ӧти ичӧт шыпасӧн (16-ӧд серпасын), сійӧ жӧ ӧттшӧтш петкӧдлӧ вундӧгыслысь кузьтасӧ, кодӧс мурталӧма кузьта мурталан единицаясӧн; ичӧт шыпас унджыкысьсӧ пуктыссьӧ вундӧг вевдорас либӧ увдорас, шӧрас кымын.
7. Сэтшӧм визь, коді артмӧ веськыд визь вундӧгъясысь, но кодъяс оз вӧчны ӧти веськыд визь, шусьӧ чегласьӧм визьӧн. Квадратӧс да веськыдпельӧсаӧс ограничитӧма тупкӧса чегласьӧм визьӧн. 17-ӧд серпас вылын AB лоӧ MN веськыд визьлӧн вундӧг; ACDEFB — чегласьӧм визь; торъя вундӧгъясыс — чегласьӧм визьыслӧн: AC, CD, DE да с. в., кодъясысь артмӧма сійӧ, лоӧны сылӧн юкӧнъяс либӧ звенояс.
Сідзкӧ ACDEFB чегласьӧм визь артмӧма вит юкӧнысь, либӧ звеноысь.
8. Веськыд визьлӧн вундӧг лоӧ медся дженьыд ылна веськыд визьса кык чут костын.
Медым тӧдмавны ылнасӧ кутшӧмкӧ кык чут костын, колӧ нуӧдны найӧ пыр веськыд визь да муртавны вундӧгсӧ, помъяснас кодлы лоӧны босьтӧм чутъясыс.
9. Линейка прӧверитӧм. Прӧверитны линейка — сійӧ лоӧ тӧдмавны, лоӧ-ӧ сылӧн дорышыс веськыд визьӧн. Линейка прӧверайтӧны тадзи: кык чут костын, A да B костын, линейка дорышӧд нуӧдӧны визь, а сэсся, линейкасӧ вешйӧдтӧг, бергӧдӧны сійӧс AB дорыш гӧгӧрыс мӧдарладорас да бара жӧ нуӧдӧны сійӧ A да B чутъясыс пыр визь. Кыкнан визьыс кӧ вевсясясны, линейкаыс правильнӧй.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Кыдзи кучкыны стенӧ веськыд визь?
2. Мыйла кык веськыд визь оз вермыны вомӧнасьны кык чутын?
3. Кутшӧм торъялӧм веськыд визь да вундӧг, вундӧг да луч, веськыд визь да луч костын?
4. Мый шусьӧ чегласьӧм визьӧн? Мыйӧн лоӧны сылӧн юкӧнъясыс?
5. Кыдзи нуӧдны мӧда-мӧдныскӧд вомӧнасьысь куим веськыд визь, медым лоӧ: 1) квайт луч да 2) тупкӧса чегласьӧм визь?
2 §. Вундӧгъяс мурталӧм. Масштабнӧй линейка.
1. Муртавны вундӧг — сійӧ лоӧ тӧдмавны, кымын пӧв муртӧс единица кузяыс тӧрӧ босьтӧм вундӧгас.
Негырысь вундӧгъяс мурталігӧн пӧльзуйтчӧны масштабнӧй линейкаӧн, масштабнӧй линейкасӧ юклӧма сантиметръяс да миллиметръяс вылӧ. Вундӧглысь кузьтасӧ позьӧ муртавны кык ногӧн: 1) сӧмын ӧти масштабнӧй линейкаӧн, либӧ 2) войдӧр используйтны циркуль, сы бӧрти сэсся масштабнӧй линейка.
2. Первой ногыс. Медым муртавны AB вундӧг (18-ӧд серпас), сы бердӧ пуктӧны масштабнӧй линейка сідзи, медым сылӧн шуйга помыс вӧлі нуля юкӧн весьтас, сэсся пасйӧны, кутшӧм линейкавывса деленньӧ весьтын лоӧ мӧдыс, вундӧгыслӧн веськыд помыс, сэки линейка вылас вӧчӧм пасторйыс петкӧдлас, кымын сантиметр да миллиметр лоӧ мурталан AB вундӧглӧн кузьтаыс; 18-ӧд серпас вылын петкӧдлӧма AB вундӧг 6 см да 3 мм, либӧ 63 мм кузьта.
3. Мӧд ногыс. Медым муртавны AB вундӧг циркульӧн, вӧчӧны тадзи: циркуль кокъяслысь ёсь йывъяссӧ пуктӧны вундӧг A да B чутъясӧ (19-ӧд серпас), сэсся циркуль кокъяссӧ вӧрзьӧдтӧг (топӧдтӧг, паськӧдтӧг) пуктӧны сійӧс масштабнӧй линейка вылӧ; линейкавывса лыдыс петкӧдлас AB вундӧгыслысь кузьтасӧ.
Кузьта мурталігӧн ми непосредственнӧя ӧтластитам мурталан вундӧгсӧ кузьта мурталан единицакӧд; татшӧм мурталӧмыс шусьӧ непосредственнӧй мурталӧмӧн.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс:
1. Кыдзи позьӧ муртавны вундӧглысь кузьта?
2. Кыдзи вӧчӧма масштабнӧй линейка? Кутшӧм доляяс кузьта единицалысь пасйӧма сы вылын? Кыдзи прӧверитны, правильнӧ-ӧ масштабнӧй линейкаыс?
3. Муртавны циркульӧн да масштабнӧй линейкаӧн кузьтасӧ, пасьтасӧ да судтасӧ истӧг кӧрӧблысь, ыдждасӧ — книга нимысь ыджыд шыпасъяслысь, пасьтасӧ — тетрадь визьяс костысь.
4. Муртавны масштабнӧй линейкаӧн дзонь карандашлысь кузьтасӧ, кузьтасӧ да пасьтасӧ тетрадьлысь.
5. Вӧчны аслыд 20 см кузьта масштабнӧй линейка, пасйыны сы вылын сантиметръяс, 1 см-лысь кузьтасӧ юкны миллиметръяс вылӧ.
6. Нуӧдны тетрадьын веськыд визь, торйӧдны сы вылын син серті, ылӧсас, 4 см кузьта AB вундӧг, сэсся циркульӧн тӧдмавны, унаӧн-ӧ AB вундӧгыс дженьыдджык либӧ кузьджык 4 см-сьыс.
3§. Вундӧгъясӧс ӧтластитӧм.
1. Ӧтластитны кык вундӧг — сійӧ лоӧ тӧдмавны, ӧтыдждаӧсь-ӧ найӧ, либӧ тӧдмавны, кодыс на пиысь ыджыдджык.
Кык вундӧг лоӧны ӧтыдждаӧсь, ӧтисӧ мӧд вылас пуктігӧн кӧ помъясыс налӧн ӧтлаасясны. Вундӧгъясӧс мӧда-мӧдыскӧд ӧтластитігӧн лоӧ вуджӧдны найӧс ӧти веськыд визь вылысь мӧд веськыд визь вылӧ. Тайӧ вӧчсьӧ циркуль отсӧгӧн.
2. Сетӧма вундӧг AB; колӧ вуджӧдны сійӧс, либӧ, кыдз шуӧны, пуктыны MN веськыд визь вылӧ (19-ӧд серпас).
Сы могысь босьтӧны циркульӧ вундӧг AB да циркуль кок костсӧ вежлытӧг пуктӧны MN веськыд визь вылӧ кутшӧмкӧ чутсянь A₁B₁ вундӧг, коді равнӧй AB вундӧгкӧд. Гижсьӧ тайӧ тадзи: A₁B₁ = AB.
3. Сетӧма кык вундӧг AB да CD; колӧ ӧтластитны найӧс мӧда-мӧдыскӧд (20-ӧд серпас). Та могысь вундӧг AB пуктам CD вундӧг вылӧ сідзи, медым A чутыс веськалі C чутӧ да веськыд визь AB медым муніс CD веськыд визьӧд. B чутыс кӧ ӧтлаасяс D чуткӧд, AB вундӧгыс ӧтыджда CD вундӧгкӧд. Гижсьӧ тадзи: AB = CD.
AB вундӧгсӧ CD вылас пуктігӧн кӧ B чутыс веськалӧ кутшӧмкӧ E чутӧ, коді лоӧ C да D чутъяс костас (21-ӧд серпас), сэки AB-ыс ичӧтджык CD-сьыс. Тайӧ гижсьӧ неравенство пасӧн тадзи: AB < CD; неравенство пасыс ёсьладорнас бергӧдчӧ ичӧтджык вундӧгланьыс.
Медбӧрын AB-сӧ CD вылас пуктігӧн B чутыс вермас веськавны, шуам, E чутӧ, коді лоӧ CD визьӧд D чут сайын (22-ӧд серпас); сэки AB вундӧгыс ыджыдджык CD-сьыс, гижсьӧ тайӧ тадзи: AB > CD.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс:
1. Мый петкӧдлӧ татшӧм гижӧд: 1) a > c, 2) b < d, 5) m = n, кӧні a, b, c, d, m да n — вундӧгъяс?
2. Нуӧдны разнӧй бокланьӧ син серти кык ӧтыджда вундӧг да прӧверитны, збыль-ӧ найӧ ӧтыдждаӧсь.
3. Нуӧдны вундӧгъяс татшӧм кузьтаӧн: 3,5 см, 6,6 см, 53 мм, 1 дм, 2 см, 7 мм.
4. 23-ӧд серпас вылӧ видзӧдігӧн a вундӧг кажитчӧ кузьджык b вундӧгысь, а m вундӧг кажитчӧ кузьджык n вундӧгысь. Прӧверитӧй, збыльысь-ӧ тайӧ сідзи, абу-ӧ тані син пӧръялӧм.
4 §. Вундӧгъясӧс содтӧм.
1. Вундӧгъяс вылын действийӧяссӧ позьӧ вӧчавны кык ногӧн: арифметическӧя либӧ геометрическӧя. Первой ногыс войдӧр колӧ муртавны сетӧм вундӧгъяссӧ, а сэсся налысь кузьтаяссӧ петкӧдлысь лыдъяс вылын вӧчавны индӧм действийӧяс; мӧд ногыс действийӧяссӧ ми вӧчам вундӧгъяс вылас непосредственнӧ, кузьтаяссӧ налысь войдӧр муртавтӧг.
2. Содтыны некымын вундӧг — сійӧ лоӧ босьтны сэтшӧм выль вундӧг, кодлӧн кузьтаыс медым вӧлі ӧтыджда сетӧм вундӧг кузьтаяс суммакӧд.
3. Задача. Содтыны куим вундӧг a, b да c (24-ӧд серпас).
Решитӧм. Нуӧдам веськыд визь MN да кутшӧмкӧ A чутсянь заводитӧмӧн пукталам сы вылӧ ӧти мӧд бӧрся сетӧм вундӧгъяс a, b да c, тадзи: AB = a, BC = b, CD = c; лоӧ вундӧг AD, сійӧ лоӧ ӧтыджда куимнан сетӧм вундӧгъяс суммакӧд. Колӧ шуны, мый содтігӧн ӧти вундӧглӧн бӧръя помыс лоӧ мӧд вундӧглы воддза помӧн.
Тайӧ гижсьӧ тадзи: a + b + c = AB + BC + CD = AD.
4. AD вундӧглӧн кузьтаыс эз эськӧ вежсьы, содтавны кӧ сетӧм вундӧгъяссӧ мӧд ногӧн, шуам, содтыны войдӧр a да c вундӧгъяссӧ да налысь суммасӧ петкӧдлысь вундӧг дінас содтыны b вундӧг, либӧ войдӧр босьтны b да c вундӧгъяс да найӧ сумма бердӧ содтыны a вундӧг.
Содтанлыдъяслысь пӧрадоксӧ вежӧм понда суммаыс оз вежсьы.
5 §. Вундӧгъясӧс чинтӧм.
1. Чинтыны ӧти вундӧг мӧд вундӧгысь — сійӧ лоӧ корсьны сэтшӧм выль вундӧг, коді вӧлі медым петкӧдлӧ, унаӧн-ӧ сетӧм вундӧгъяс письыс ӧти вундӧгыс ыджыдджык либӧ ичӧтджык мӧдсьыс.
2. Задача. AB = a вундӧгысь чинтыны CD = b вундӧг.
Решитӧм. Ичӧтджык вундӧгсӧ CD = b (25-ӧд серпас) пуктам ыджыдджык вундӧг AB = a вылас, сідзи, медым воддза вундӧгыслӧн D помыс веськалӧ мӧд вундӧгса B помас да CD вундӧгыс медым муніс AB вундӧг вывті B-сяньыс A-ланьыс; C помыс AB вундӧг вылас веськалӧ C₁ чутӧ да AB вундӧг вылас сылӧн кольӧм юкӧныс — AC₁, коді m вундӧг кузьта, и петкӧдлӧ, унаӧн-ӧ ыджыдджык AB = a вундӧгыс CD = b вундӧгысь.
Гижсьӧ тадзи: a − b = m, либӧ AB − CD = AC₁.
Ми вӧчим геометрия ногӧн чинтӧм кык вундӧг вылын — AB да CD вундӧгъяс вылын, лои выль вундӧг AC₁, сійӧ петкӧдлӧ кык вундӧгыслысь мӧда-мӧдсьыс кузьтанас торъялӧмсӧ, либӧ разносьтсӧ.
Позьӧ муртавны AB, CD да AC₁ вундӧгъяслысь кузьтасӧ да арталӧмӧн прӧверитны вылыса пуктӧмӧн вӧчӧм ӧтветлысь веськыдлунсӧ.
6 §. Вундӧгӧс тыр лыд вылӧ ӧктӧм.
1. Вундӧгӧс тыр лыд вылӧ ӧктыны — сійӧ лоӧ корсьны сэтшӧм выль вундӧг, коді эськӧ аслас кузьтанас медым равняйтчис сетӧм вундӧглы, кодӧс содтанлыдӧн босьтӧма сы мында пӧв, кымын единица сетӧм тыр лыдас.
2. Задача. Вундӧг AB = a ӧктыны 5 вылӧ (26-ӧд серпас).
Решитӧм. Тыр лыд вылӧ ӧктӧм лоӧ ӧткодь содтанлыдъясӧс содталӧм, сідзкӧ a · 5 = a + a + a + a + a; тасянь петӧ задачасӧ решитӧм.
MN веськыд визь вылӧ кутшӧмкӧ A чутсянь пукталӧны ӧти мӧд бӧрысь 5 пӧв сійӧ жӧ ӧти вундӧгсӧ AB = a; лоӧ вундӧг AF = 5 AB = 5a.
7 §. Вундӧгъясӧс юкӧм.
1. 2, 4, 8 да с. в. ӧткодь юкӧнъяс вылӧ вундӧгӧс юкӧм. Юкны вундӧг 2, 4, 8 да с. в. ӧткодь юкӧнъяс вылӧ — значит корсьны пукталӧмӧн (построенньӧӧн) сэтшӧм выль вундӧг, кодлӧн кузьтаыс лоӧ сетӧм вундӧг джын ыдждаыс, нёльӧд юкӧн ыдждаыс, кӧкъямысӧд юкӧн ыдждаыс да с. в.
2. Задача. Юкны AB = a вундӧг шӧри, кык ӧткодь юкӧн вылӧ (27-ӧд серпас).
Решитӧм. Циркульӧн — AB вундӧг джынйысь неуна паськыдджыка циркульсӧ восьтӧмӧн — нуӧдам кытшвизь (окружносьт), шӧрчут (центр) пыддиыс босьтам AB вундӧгыслысь A да B помъяссӧ. Тайӧ кытшвизьясыс вомӧнасясны M да N чутъясын. Сэсся тайӧ чутъяссӧ ӧтлаалам MN веськыд визьӧн; сійӧ вомӧналас сетӧм AB вундӧгсӧ C чутын. C чутыс лоӧ AB вундӧг шӧрас, сідзкӧ AC = CB — тайӧ позьӧ прӧверитны циркульӧн.
AC да CB вундӧгъяссӧ тадзи жӧ шӧри юкӧмӧн ми юкам AB вундӧгсӧ 4 ӧтыджда юкӧн вылӧ.
Быд лоӧм вундӧг водзӧ шӧри юклӧмӧн ми юкам сетӧм AB вундӧгсӧ 8, 16, 32 да с. в. ӧтыджда юкӧнъяс вылӧ.
3. Вундӧгӧс вундӧг вылӧ юкӧм. Юкны ӧти вундӧг мӧд вылӧ — сійӧ лоӧ тӧдмавны, кымын пӧв ӧти вундӧгыс пырӧ мӧд вундӧгас, либӧ кымын пӧв ӧти вундӧгыс ыджыдджык либӧ ичӧтджык мӧд вундӧгсьыс.
4. Задача. Тӧдмавны, кымын пӧв CD вундӧг пырӧ AB вундӧгӧ (28-ӧд серпас).
Решитӧм. Сетӧма кык вундӧг — AB да CD. Пукталам ӧти мӧд бӧрся ичӧтджык вундӧгсӧ — CD-сӧ — AB вундӧг вылас некымын пӧв; шуам, сійӧ водас AB вундӧг вылас 4 пӧв, сэки AB вундӧгӧс CD вундӧг вылӧ юкӧмысь результатыс лоӧ татшӧм: AB/CD = 4. Сідзкӧ CD вундӧг AB вундӧгӧ пырӧ 4 пӧв, либӧ AB 4 пӧв ыджыдджык CD-ысь, либӧ CD 4 пӧв ичӧтджык AB-ысь.
Видзӧдлам сэтшӧм случай, кор CD вундӧгыс оз тыр лыд пӧв пыр AB вундӧгас.
Шуам, CD водас AB вундӧг вылас (29-ӧд серпас) 3 пӧв да нӧшта кольӧ AE = m, сідзкӧ AB = 3 CD + AE. Сы бӧрти CD вундӧгсӧ юкам посни торъясӧ, шуам, кӧкъямысӧд юкӧнъяс вылӧ, да тӧдмалам, кымынысь CD вундӧгыслӧн кӧкъямысӧд юкӧныс водас AE колясас; мед, шуам, сійӧ пырӧ AE вундӧгас 5 пӧв (витысь), сэки
AB = 3 CD + AE = 3 CD + 5⁄8 CD = 3 5⁄8 CD.
Сідзкӧ AB вундӧг лоӧ 3 5⁄8 CD вундӧг ыджда, а тайӧ лоӧ: AB вундӧг ыджыдджык CD вундӧгысь 3 5⁄8 пӧв, либӧ CD вундӧгын AB вундӧг содержитчӧ 3 5⁄8 пӧв.
AB да CD кык вундӧгӧс юкӧмӧн ӧтластитӧм эм содержанньӧ серти юкӧм; тані юкӧмыс вӧчсьӧ CD вундӧгсӧ AB вундӧгысь дорвыв чинтӧмӧн.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс 4−8 §§-лы:
1. Гижтыны вундӧг a = 4,7 см, вундӧг b = 52 мм да геометрия ног вӧчӧмӧн корсьны налысь суммасӧ.
2. Гижтыны вундӧг a = 3,5 см да нюжӧдны сійӧс кыкнанладорсяньыс b = 2,7 см вундӧг вылӧ; результатсӧ гижны куим вундӧгысь лоан суммаӧн.
3. Нуӧдны 4 торъя (звеноа) чегласьӧм визь да корсьны сылысь кузьтасӧ (веськӧдны чегласьӧмсӧ).
4. Гижтыны вундӧгъяс a да b. Корсьны геометрия ног вӧчӧмӧн вундӧг x = 3a + 2b.
5. Муртавны истӧг кӧрӧблысь a судтасӧ, а сэсся корсьны тэчӧмӧн 5a.
6. Гижтыны кык вундӧг a да b да корсьны налысь разносьтсӧ. Результатсӧ гижны.
7. Прӧверитны тэчӧмӧн, кымын пӧв водас a = 11 см вундӧгын b = 2,5 см вундӧг.
8. Гижтыны вундӧгъяс: a, b да c. Корсьны тэчӧмӧн: 1) a + b − c; 2) a + c − b.
9. Гижтыны вундӧгъяс a да b. Корсьны тэчӧмӧн 3b − 4a вундӧг.
10. Геометрия ног вӧчӧмӧн юкны шӧри a вундӧг — прӧверитны, кор a = 5 см.
11. Гижтыны произвольнӧй кузьтаа a вундӧг, сійӧс юкны 8 ӧтыджда юкӧн вылӧ да пасйыны чертёж вылын татшӧм вундӧгъяс: 3⁄4, 7⁄8, 7⁄4 сетӧм (a) вундӧгыслысь.
12. Сетӧма вундӧгъяс m да n. Корсьны вундӧгъяс: x = m/2+n/2; y = m/4+n/2.
13. Вундӧг AB = n (30-ӧд серпас) ӧтыджда a да b вундӧгъясысь лоан суммакӧд; вундӧг CD = m ӧтыджда сійӧ жӧ a да b вундӧгъясысь лоан разносьткӧд. Корсьны тэчӧмӧн a да b вундӧгъяссӧ.
14. Корсьны тэчӧмӧн, кымын пӧв CD = b вундӧг пырӧ (содержитчӧ) AB = a вундӧгӧ (31-ӧд серпас).
ІІІ. КВАДРАТЛЫСЬ ДА ВЕСЬКЫДПЕЛЬӦСАЛЫСЬ ПЛӦЩАДЬ МУРТАЛӦМ.
1 §. Плӧщадьяс мурталӧм.
1. Муртавны плӧщадь — тайӧ лоӧ сійӧс ӧтластитны мӧд тӧдса плӧщадькӧд, кодӧс лоӧ босьтӧма муртас (мера) единица пыдди. Плӧщадь муртас единица пыдди босьтсьӧ плӧщадь квадратлӧн, кодлӧн дорыс лоӧ кутшӧмкӧ линейнӧй единица ыджда, шуам миллиметр, сантиметр, метр да с. в.; татшӧм муртас единицаыс шусьӧ квадратнӧй муртасӧн (мераӧн).
Единица пыдди босьтӧм квадрат бок кузьта серти плӧщадь муртасыслӧн квадратнӧй единицаыс шусьӧ квадратнӧй миллиметрӧн, либӧ квадратнӧй сантиметрӧн да с. в. (32-ӧд серпас).
Плӧщадь муртас единица босьтӧм бӧрын мурталӧны фигура плӧщадьсӧ, тӧдмалӧны, кымын квадратнӧй единица пырӧ мурталан плӧщадяс.
2. Фигура плӧщадьсӧ непосредственнӧя мурталігтырйи мурталан плӧщадьсӧ колӧ тыртны единица пыдди босьтӧм плӧщадкаясӧн, кыдзи тайӧ петкӧдлӧма 33-ӧд серпас вылын. Татшӧм нога мурталӧм позьӧ применитны веськыд пельӧса негырысь плӧщадьяс мурталігӧн; гырысь веськыд пельӧса плӧщадьяс, а сідзжӧ мукӧд фигураа плӧщадьяс мурталігӧн непосредственнӧй мурталӧм нуӧдны абу удобнӧ.
Тані вӧчӧны мӧд ногӧн — косвеннӧй мурталӧмӧн: мурталӧны фигура вундӧгъяслысь кузьтаяссӧ, сылысь доръяссӧ да ӧткымын вспомогательнӧй визьяс, кодъяс гижтыссьӧны фигураас; фигураыслысь торъя визьяссӧ мурталӧм бӧрын арталӧмӧн (вычислитӧмӧн) корсьӧны сылысь плӧщадьсӧ.
2 §. Веськыдпельӧсалӧн да квадратлӧн плӧщадь.
1. Сетӧма веськыдпельӧса ABCD, доръясыс сылӧн AB = 6 см да AD = 4 см; колӧ артавны сылысь плӧщадьсӧ (34-ӧд серпас). Веськыдпельӧсасӧ кӧ юкны 1 см пасьтаа вомӧна полосаяс вылӧ, сэтшӧм полосаыс лоӧ 6. Сы бӧрти кӧ юкны веськыдпельӧсасӧ 1 см пасьтаа кузьмӧса полосаяс вылӧ, сэтшӧм полосаыс лоӧ 4, такӧд ӧттшӧтш быд вомӧна полоса вундысяс 6 квадрат вылӧ, а веськыдпельӧсаыс ставнас — 6 · 4 = 24 квадрат вылӧ.
Быд квадратлӧн дорыс лоӧ 1 см кузьта, а плӧщадьыс 1 кв. см;
ABCD веськыдпельӧсалӧн плӧщадьыс лоӧ 24 кв. см.
Быдысьӧн тадзи вӧчны, кор колӧ муртавны веськыдпельӧсалысь плӧщадьсӧ, нинӧмла. Вӧчӧны тадзи: мурталӧны ӧткодь муртаса линейнӧй линейкаӧн ABCD веськыдпельӧсалысь кык смежнӧй доръяссӧ, ӧтиыс на пиысь — AB — шусьӧ подувтасӧн, а мӧдыс — AD — судтаӧн, сэсся мурталігас лоӧм лыдъяссӧ ӧктӧны мӧда-мӧд вылас; тайӧ лыдъясыслӧн произведенньӧыс и петкӧдлӧ веськыдпельӧса плӧщадьлысь ыдждасӧ сійӧ жӧ нима квадратнӧй единицаясӧн.
Веськыдпельӧсалӧн плӧщадьыс равняйтчӧ сійӧ кузьтаӧс пасьтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы, либӧ сійӧ подувтасӧс судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.
2. Пасйыны кӧ веськыдпельӧсалысь подувтассӧ a шыпасӧн, сылысь судтасӧ — h шыпасӧн, а плӧщадьсӧ — S шыпасӧн, сэки веськыдпельӧсалысь плӧщадь арталан правилӧыс дженьыда гижсяс татшӧм формулаӧн:
S = ah квадратнӧй единица,
мӧд ногӧн кӧ, веськыдпельӧсалӧн плӧщадьыс равнӧй сылысь подувтассӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.
3. Пример. Корсьны плӧщадь кык веськыдпельӧсалысь — ӧтиыслӧн доръясыс 6 см да 8 см, мӧдыслӧн 10 см да 4,8 см (35-ӧд серпас).
S₁ = 6 · 8 = 48 кв. см; S₂ = 10 · 4,8 = 48 кв. см.
Кыкнан веськыдпельӧсаыслӧн — ABCD-лӧн да KLMN-лӧн — вӧлӧмаӧсь ӧтыджда плӧщадьяс, кӧть асьныс веськыдпельӧсаясыс и абу ӧтыдждаӧсь, ӧтисӧ мӧд вылас пуктігӧн найӧ оз вевсясьны.
Ӧтыджда плӧщадя фигураяс шусьӧны равновеликӧйясӧн. Фигураяс, кодъяс мӧда-мӧд выланыс вевсясьӧны, шусьӧны ӧткодьясӧн (равнӧйясӧн). Ӧткодь фигураяс тшӧтш и равновеликӧйӧсь.
4. Квадратнӧй плӧщадь арталӧм вылӧ формулаыс петӧ веськыдпельӧса плӧщадь формулаысь сы вӧсна, мый квадрат эм веськыдпельӧса жӧ, кодлӧн став дорыс ӧтыджда. Квадратлӧн пасьтаыс ӧтыджда кузьтаыскӧд, либӧ сылӧн судтаыс ӧтыджда сійӧ подувтаскӧд; сідзкӧ S квадратлӧн плӧщадь лоӧ a · a = a², кӧні a-ыс лоӧ подувтасӧн. Сідзкӧ
S = a² квадратнӧй единица.
Тайӧ формулаыс лыддьыссьӧ тадзи: квадратлӧн плӧщадьыс равнӧй сійӧ дор квадратлы.
5. 1 задача. Артавны плӧщадь веськыдпельӧса му пластлысь, кодлӧн доръясыс лоӧны 375 м да 280 м.
Решитӧм. S = ah = 375 · 280 = 105 000 кв. м = 1050 а.
2 задача. Корсьны плӧщадь квадратлысь, кодлӧн периметрыс, мӧд ног кӧ став доръясыслӧн суммаыс, лоӧ 22 м.
Решитӧм. Пасъям корсян дорсӧ квадратлысь x-ӧн. Задачаас индӧм серти периметрыс P = 4х, 4х = 22 м, татысь x = 22/4 = 5,5 м. Квадратлысь дорсӧ тӧдмалӧм бӧрын, тӧдмалам сылысь плӧщадьсӧ:
5 = х² = 5,5² = 30,25 м².
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Мый сійӧ лоӧ муртавны фигуралысь плӧщадь?
2. Ыджыд-ӧ лоӧ кузьтаыс квадрат дорлӧн, плӧщадьыс кӧ сылӧн: 1) 1 а да 2) 1 га?
3. Мыйын заключайтчӧ фигура плӧщадьӧс непосредственнӧя да косвеннӧя мурталӧмыс?
4. Кыдзи вежсяс веськыдпельӧсалӧн плӧщадьыс, a подувтассӧ кӧ сылысь кольны вежтӧг, а h судтасӧ: 1) ыдждӧдны 2 пӧв, 2) ичӧтмӧдны 3 пӧв?
5. Кымын величинаысь зависитӧ плӧщадьыс веськыдпельӧсалӧн? квадратлӧн?
6. Мыйла ӧткодь фигураяс сідзжӧ и ӧтыдждаӧсь (равновеликӧйӧс)?
7. Артавны плӧщадь веськыдпельӧсалысь, сетӧма кӧ:
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Подувтас a | 4,5 см | 2 м 12 см | 1 см 6 мм | 0,48 м | 100 м | 2 км 75 м |
| Судта h | 3 см | 1 м 5 см | 0,70 см | 35 см | 250 м | 1 км 40 м |
8. Му пласт — веськыдпельӧса формаа. Артавны сылысь плӧщадьсӧ аръясӧн, дор бокъясыс кӧ сылӧн лоӧны 280 м да 360 м.
9. Кузь-ӧ колӧ лоны 160 м пасьта веськыдпельӧса му пласт, вежны кӧ сійӧн квадратнӧй формаа 200 м бока му пласт?
10. Колӧ потшны кык ӧтгырся (равновеликӧй) му пластъяс; ӧти му пластыс квадратнӧй формаа, дорыс сылӧн 150 м кузьтаа; мӧдыс веськыдпельӧса формаа, ӧтар дорыс сылӧн 100 м кузьта. Артавны, код му пласт вылас потшӧсыс лоӧ кузьджык да унаӧн-ӧ?
11. Артавны веськыдпельӧса плӧщадь S = аh формулаӧ пырысь торъя величинаяссӧ, сетӧма кӧ:
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Подувтас a | 8 см | 1 м 25 см | ? | 18 см 5 мм | 74 м |
| Судта h | 7 см | ? | 2,5 мм | 10 см 4 мм | ? |
| Плӧщадь S | ? | 3725 см² | 10 мм² | ? | 37 а |
12. Корсьны дорсӧ квадратлысь, плӧщадьыс кӧ сылӧн: 1) 36 кв. м; 2) 225 кв. см; 3) 1,44 кв. м.
13. Артавны югыд сетан плӧщадьсӧ веськыдпельӧса формаа ӧшиньлысь, кодлӧн ыдждаыс лоӧ 0,8 м да 1,6 м, а ӧшиньтасъясыс став ӧшинь плӧщадьсьыс босьтӧны 4,2%.
14. Класснӧй комнатаын ӧшиньяслӧн плӧщадьыс колӧ лоны ӧти витӧд юкӧн джодж плӧщадьысь. Проверитны, лӧсялӧ-ӧ индӧм нормаыслы тіян классын ӧшиньясыслӧн югыд сетан плӧщадьыс. Абу кӧ нормаыс либӧ сыысь унджык, сэк ыджыд-ӧ лоӧ нормасьыс вешйӧмыс?
3 §. Веськыдпельӧса диаграммаяс.
Общественнӧй олӧмын да природа явленньӧясын величинаяс костысь зависимосьтъяссӧ син водзӧ шыбитчанаӧнджык петкӧдлӧм могысь пӧльзуйтчӧны разнӧй сикаса диаграммаясӧн.
Основнӧй могыс диаграммалӧн сыын, медым ӧтластитны некымын сетӧм лыд. Видлалам столбика либӧ веськыдпельӧса диаграммаясӧс. Веськыдпельӧса диаграммаясӧн лыдъясӧс (величинаясӧс) петкӧдлӧм могысь босьтӧны ӧткодь подувтаса, но разнӧй судтаа веськыдпельӧса фигураяс; судтаыс торъя веськыдпельӧсаяслӧн лоӧ сымын ыджыд, кымын ыджыд сійӧн петкӧдлан лыдыс (величинаыс).
Бумага листыд, кытчӧ чертитӧны диаграммасӧ, размеръяснас ограничитӧма, сы понда веськыдпельӧсалысь судтасӧ босьтӧны сэтшӧм масштабӧн, медым медся ыджыд лыдыс (величинаыс), кодӧс колӧ петкӧдлыны диаграмманас, тӧрис бумага лист вылӧ.
Сетӧм лыдъяссӧ петкӧдлӧны диаграмма вылын кутшӧмкӧ масштабӧн; сы вӧсна, медым кокньыдджык вӧлі гӧгӧрвоны диаграммасӧ, сы вылӧ тшӧкыда пасйӧны тшӧтш и масштабсӧ.
Веськыд визьыс, код вылын лоӧны подувтасъясыс став веськыдпельӧсаясыслӧн, шусьӧ диаграмма чӧрсӧн (осьӧн).
2. Диаграммаяс вылын тшӧкыда пасйӧны оз лыдъяссӧ, кодъяс петкӧдлӧны тайӧ явленньӧсӧ, а на костысь прӧчентнӧй отношенньӧяссӧ.
3. 36-ӧд серпас вылын сетӧма торъя вопросъяс кузя библиотекаын книга лыдъяслысь диаграмма. Сідз, общественно-политическӧй вопросъяс кузя книга лыдыс лоӧ 9250, техника кузя 3100. Медым удобнӧджык вӧлі пӧльзуйтчыны диаграмманас, быд веськыдпельӧса дінӧ пасйӧны лыдъяссӧ да тшӧтш индӧны, кутшӧм единицаясӧн найӧс босьтӧма.
4. Задача. Заводын уджалӧны 825 рабочӧй-мужчина, 350 нывбаба да 75 — томулов. Петкӧдлыны диаграмма вылын, кыдзи прӧчент серти юксьӧны тайӧ заводас рабочӧй-мужчинаяс, нывбабаяс да томулов.
| Лыд | Ставыс прӧчент | |
| Мужчинаяс .... | 825 | 66 |
| Нывбабаяс .... | 350 | 28 |
| Томулов .... | 75 | 6 |
| Ставыс .... | 1250 | 100% |
Босьтӧны веськыдпельӧса (пасьтанас сійӧ вермас лоны кӧть кутшӧм), а судтанас кутшӧмкӧ 100 единица, шуам 100 мм; сэки 66%-ыс 66 мм, 28% — 28 мм да 6% — 6 мм.
Тайӧ размеръяссӧ и пукталӧны веськыдпельӧса судта вылас. Артмӧ диаграмма-серпас.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Мыйла диаграмма вылын петкӧдлан лыдъясыс (величинаяс) пасйыссьӧны кутшӧмкӧ определённӧй масштабӧн?
2. Петкӧдлыны веськыдпельӧса диаграммаӧн класслысь составсӧ пол серти (зонъяс да нывъяс) да социальнӧй происхожденньӧ серти (рабочӧйяслӧн, крестьяналӧн, служащӧйяслӧн, мукӧдлӧн (прочӧйяслӧн) челядь).
3. Вӧчны диаграмма, медым сійӧн петкӧдлыны вогӧгӧръя шӧр лун лыдсӧ, кор торъя районъясын позьӧ нуӧдны мувыв уджъяс, татшӧм даннӧйяс серти: Крым — 335 лун; Кавказ — 280 лун; Киевскӧй район — 240 лун; Московскӧй район — 220 лун; Архангельскӧй район — 185 лун.
4. Петкӧдлыны диаграммаӧн тіян группаын велӧдчысьяслысь, став школаса велӧдчысьяслысь велалӧмсӧ торъя предметъяс кузя.
IV. КУБЛӦН ДА ВЕСЬКЫДПЕЛЬӦСА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЛӦН ВЕРКӦС ДА ОБЪЁМ.
1 §. Кублӧн да веськыдпельӧса параллелепипедлӧн павтыртас да веркӧс.
1. Кублӧн павтыртас (развёртка) лоӧ сэки, кор кубыслысь став граньсӧ лоӧ пуктӧма ӧти плоскосьт вылӧ, кыдзи сійӧ петкӧдлӧма 37-ӧд серпас вылын.
Кублӧн павтыртас — сійӧ лоӧ фигура, коді артмӧ квайт ӧткодь квадратысь; квадратъяссӧ позьӧ разнӧй ногӧн пуктавны плоскосьт вылас, кыдзи сійӧ тыдалӧ 38-ӧд серпасысь.
2. Кублӧн павтыртасыс син водзын петкӧдлӧ кублысь бокӧвӧй веркӧссӧ, сідзжӧ и сылысь став веркӧссӧ.
Бокӧвӧй веркӧсыс кублӧн — сійӧ лоӧ нёль бокӧвӧй граньяс плӧщадьлӧн сумма, а быд грань лоӧ квадрат. Куб дорышыс кӧ лоӧ a сантиметр кузьта, сэки ӧти граньлӧн плӧщадьыс лоӧ a², а кублӧн бок веркӧсыс Sb лоӧ 4a²:
Sb = 4a² кв. см.
Медым корсьны кублысь став веркӧссӧ, сійӧ бокӧвӧй веркӧс дінӧ колӧ содтыны вылыс да улыс подувтасъясыслысь плӧщадьяссӧ; быд подувтаслӧн плӧщадьыс лоӧ а², сідзкӧ тыр веркӧсыс кублӧн лоӧ 4a² + 2a² = 6a²:
St = ba² кв. см.
3. Лыда пример. Сетӧма куб, кодлӧн дорышыс 5 см. Артавны сылысь бокӧвӧй веркӧссӧ да тыр веркӧссӧ.
Решитӧм.
1) Ӧти граньлӧн плӧщадь = 5 · 5 = 25 кв. см.
2) Бокӧвӧй веркӧсыс кублӧн = 4 · 25 кв. см. = 100 кв. см.
3) Тыр веркӧсыс кублӧн = 6 · 25 кв. см = 150 кв. см.
4. 39-ӧд серпас вылын чертитӧма веськыдпельӧса параллелепипед да сылысь павтыртассӧ, сійӧ артмӧма гозйӧн-гозйӧн ӧткодь 6 веськыдпельӧсаысь: нёль веськыдпельӧсалӧн кузьтаыс ӧтыджда (равнӧйӧсь) параллелепипед AB кузьтакӧд.
Медым артавны веськыдпельӧса параллелепипедлысь бокӧвӧй веркӧссӧ, колӧ корсьны сійӧ нёль бокӧвӧй граньяс плӧщадьыслысь суммасӧ, а быд грань, ми тӧдам, лоӧ веськыдпельӧса. Ӧти бокӧвӧй граньлӧн плӧщадьыс лоӧ сылысь подувтассӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧ ыджда, а бокӧвӧй граньыс эм параллелепипедыслӧн судта. Пасъям тайӧ судтасӧ h шыпасӧн да тӧдмалам быд граньлысь плӧщадьсӧ торйӧн:
1. AA₁B₁B граньлӧн плӧщадь = AB · h;
2. BB₁C₁C „ „ = BC · h;
3. CC₁D₁D „ „ = CD · h;
4. DD₁A₁A „ „ = DA · h;
Нёльнан бокӧвӧй граньяслӧн плӧщадьыс лоӧ:
AB · h + BC · h + CD · h + DA · h =
= (AB + BC + CD + DA) h = P · h,
кӧні P шыпаснас пасйӧма параллелепипед подувтас доръясыслысь суммасӧ, либӧ ABCD периметрсӧ. Сідзкӧ
Sb = P · h кв. единица.
Тайӧ формулаыс лыддьыссьӧ тадзи:
Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн бокӧвӧй веркӧсыс равняйтчӧ сійӧ подувтаслысь периметрсӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.
Дзик жӧ тадзи корсьӧны бокӧвӧй веркӧссӧ любӧй веськыд призмалысь.
5. Медым артавны веськыдпельӧса параллелепипедлысь тыр веркӧссӧ, сійӧ бокӧвӧй веркӧс дінӧ колӧ содтыны улыс да вылыс подувтасъясыслысь плӧщадьяссӧ, а подувтасъясыслӧн плӧщадьясыс мӧда-мӧдныскӧд ӧтыдждаӧсь, сідзкӧ бокӧвӧй веркӧс дінас колӧ содтыны удвоеннӧй плӧщадьсӧ подувтасъяс пиысь ӧтиыслысь.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Ыджыд-ӧ лоӧ бокӧвӧй веркӧсыс да тыр веркӧсыс кублӧн, дорыс кӧ сылӧн 3 см? 10 см? n см?
2. Чертитны кублысь павтыртассӧ 6 см кузьтаа дорӧн, клеитны сійӧс картон вылӧ да вӧчны куб модель, павтыртас квадрат бокъяссӧ кокньыдика пуртӧн кырӧдӧмӧн.
3. Корсьны веськыдпельӧса параллелепипедлысь бокӧвӧй веркӧссӧ, кодлӧн муртасъясыс 8 см, 5 см да 3 см.
4. Тӧдмавны веськыдпельӧса параллелепипедлысь бокӧвӧй веркӧссӧ да тыр веркӧссӧ татшӧм сетӧмъяс серти:
| N | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Кузьта a | 12 см | 0,80 м | 2 м 25 см | 2,5 см | 3½ м |
| Пасьта b | 6,5 см | 52 см | 1 м 80 см | 1,2 см | 2¼ м |
| Судта h | 7,2 см | 0,55 м | 0,90 м | 80 мм | 1¾ м |
2 §. Кублӧн да веськыдпельӧса параллелепипедлӧн объём.
1. Быд телӧ занимайтӧ кутшӧмкӧ определённӧй юкӧн пространствоысь, а сідзкӧ быд телӧлӧн эм кутшӧмкӧ определённӧй объём.
Муртавны кутшӧмкӧ телӧлысь объёмсӧ — сійӧ лоӧ ӧтластитны сійӧс сэтшӧм телӧкӧд, кодлысь объёмсӧ босьтӧма единица пыдди, да тӧдмавны, кымын пӧв босьтӧм муртӧс единицаыс тӧрӧ сетӧм объёмас.
2. Объём единица пыдди босьтӧны куб, кодлӧн дорышыс лоӧ кутшӧмкӧ ӧти линейнӧй единица. Татшӧм кубыс шусьӧ кубическӧй единицаӧн.
3. Артавны объёмсӧ кутшӧмкӧ-нибудь телӧлысь непосредственнӧй мурталӧмӧн, сійӧс кубическӧй единицаясӧн тыртӧмӧн, оз пыр позь. Та понда телӧяслысь объём мурталӧны косвеннӧя, мӧд ногӧн кӧ, телӧлысь размеръяссӧ мурталӧны линейнӧй мераясӧн да сы бӧрти вӧчӧны колана арталӧмъяс (расчётъяс). Пример вылӧ — веськыдпельӧса параллелепипедлысь объёмсӧ арталӧны сійӧ куим муртас серти: кузьта, пасьта да судта серти.
4. Колӧ тӧдмавны веськыдпельӧса параллелепипедлысь объём, сылӧн кӧ кузьтаыс a = 3 см, пасьтаыс b = 2 см да судтаыс c = 4 см (40-ӧд серпас). Муртас единица пыдди босьтсьӧ 1 куб. см.
Колӧ тӧдмавны, кымын кубическӧй сантиметр тӧрӧ ӧти радӧ параллелепипед кузьтаногыс. Кубическӧй сантиметр лыдыс, коді тӧрас ӧти радӧ параллелепипед кузьтаас, лоӧ ӧтмында сійӧ кузьтаса сантиметр лыдкӧд, а сідз кӧ, кузьта ногыс ӧти радын лоас 3 куб. см. Татшӧм радыс параллелепипед подувтас вылас тӧрӧ кык, сы мында жӧ, кымын сантиметр сетӧм параллелепипед пасьтаыс. Сідзкӧ ӧти слӧй кубическӧй сантиметръяслӧн, кодъясӧн вевттьыссьӧ параллелепипедыслӧн подувтасыс, лоӧ 3 · 2 = 6 куб. см. Ковмас нӧшта тӧдмавны, кымын татшӧм слӧйыс лоӧ телӧ объёмас. Быд слӧйлӧн кызтаыс 1 см, сідзкӧ слӧй лыдыс лоӧ сэні сы мында жӧ, кымын сантиметр параллелепипед судтаыс, мӧд ног кӧ, лоӧ нёль слӧй. Став кубическӧй сантиметр лыдыс сетӧм веськыдпельӧса параллелепипед объёмын лоӧ 6 куб. см × 4 = 24 куб. см. Дерт жӧ тайӧ лыдыс артмис параллелепипедлысь кузьтасӧ, пасьтасӧ да судтасӧ петкӧдлысь лыдъясӧс — 3, 2, 4 — мӧда-мӧд вылас ӧктӧмысь.
Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн объёмыс равняйтчӧ сійӧ куим муртасыс — кузьта, пасьта да судта — лоан произведенньӧлы.
5. Пасъям веськыдпельӧса параллелепипедлысь объёмсӧ V шыпасӧн, кузьтасӧ a шыпасӧн, пасьтасӧ b шыпасӧн да судтасӧ c шыпасӧн, лоӧ формула, коді петкӧдлӧ веськыдпельӧса параллелепипедлысь объёмсӧ кубическӧй единицаясӧн:
V = a · b · c кубическӧй единица.
6. Веськыдпельӧса параллелепипед объём формулаысь артмӧ формула любӧй ыдждаа кублысь объёмсӧ арталӧм вылӧ. Кубын куимнан муртасыс ӧткодьӧсь, сідзкӧ куб объём формулаыс лоӧ татшӧм: V = a · a · a, кӧні a лоӧ кублӧн дорышыс, либӧ
V = a³ кубическӧй единица.
7. 1 задача. Артавны веськыдпельӧса параллелепипед формаа комнаталысь объёмсӧ, — кузьтаыс сылӧн 6 м, пасьтаыс 2,5 м, судтаыс 4 м.
Решитӧм. V = 6 · 2,5 · 4 = 60 куб. м.
2 задача. Артавны кублысь объёмсӧ, кодлӧн дорышыс 7 см.
Решитӧм. V = 7 · 7 · 7 = 343 куб. см.
8. Веськыдпельӧса параллелепипедлысь объём формуласӧ V = a · b · c позьӧ пасйыны неуна мӧд ногӧнджык. Формулаас пырӧ a · b произведенньӧ, коді лоӧ параллелепипед подувтаслӧн Q плӧщадь, а сідз кӧ, аb-сӧ Q-ӧн да c-сӧ — сылысь судтасӧ — h-ӧн вежӧмӧн, позьӧ гижны:
V = Q · h кубическӧй единица.
Тайӧ гижӧдыс лыддьыссьӧ тадз:
Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн объёмыс равняйтчӧ сылысь подувтас плӧщадьсӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.
9. Задача. Корсьны веськыдпельӧса параллелепипедлысь объёмсӧ, кодлӧн подувтас плӧщадьыс Q = 35 кв. см, а судтаыс h = 8 см.
Решитӧм: V = Q · h = 35 · 8 = 280 куб. см.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Кыдзи корсьны бруслысь объёмсӧ непосредственнӧй мурталӧмӧн? Косвеннӧй мурталӧмӧн?
2. Мыйлы равняйтчӧ правильнӧй нёльпельӧса веськыд призмалӧн объёмыс?
3. Ыджыд-ӧ лоӧ веськыд (правильнӧй) призмалӧн объёмыс, подувтасыс кӧ сылӧн 12 см бока квадрат, а судтаыс 15 см?
4. Кымын пӧв ыдждас кублӧн объёмыс, кубыслысь кӧ дорышсӧ ыдждӧдны 2 пӧв? 3 пӧв? Прӧверитны задача решитӧмсӧ 6 см кузя дорыша куб вылын.
5. Куб дорыш чинтӧмла (содтӧмла) объёмыс кублӧн чині (соді) 64 пӧв; кыдзи вежсясны сэки сылӧн бокӧвӧй веркӧсыс да тыр веркӧсыс?
6. Куб подувтаслӧн плӧщадьыс 81 кв. см. Ыджыд-ӧ лоӧ кубыслӧн объёмыс?
7. Кублӧн объёмыс 64 куб. см. Ыджыд-ӧ лоӧ сылӧн бокӧвӧй веркӧсыс? Тыр веркӧсыс?
8. Комнаталӧн формаыс правильнӧй нёльпельӧса веськыд призмаа кодь, кузь-ӧ лоӧ комната подувтасыслӧн дорыс, объёмыс кӧ сылӧн лоӧ 25,2 куб. м, а судтаыс — 2,8 м?
9. Веськыдпельӧса формаа жӧч листысь (41-ӧд серпас), кодлӧн доръясыс 50 см да 30 см, вӧчӧма восьса вылыса ящик со кыдзи: лист пельӧсъясысь вундісны 4 ӧтыджда квадрат, кодъяслӧн дорыс 6 см кузьта, а лист доръяссӧ кусыньтісны да наысь артмис ящик бокыс. Тӧдмавны, ыджыд-ӧ ящикыслӧн пытшкӧсыс.
10. Пу ящик вӧчӧма 1,5 см кызта пӧвъясысь. Ортсысяньыс мурталӧмӧн ящикыслӧн кузьтаыс — 1,6 м, пасьтаыс — 95 см, судтаыс — 50 см. Тӧдмавны, ыджыд-ӧ тайӧ ящикыслӧн пытшкӧсыс.
11. Артавны класспытшса сынӧдлысь сьӧктасӧ, класслӧн кузьтаыс кӧ 8,0 м, пасьтаыс — 6,0 м, судтаыс 4,5 м да 1 куб. м сынӧдлӧн сьӧктаыс 1,3 кг.
12. Картонысь вӧчӧм кӧрӧблӧн муртасъясыс лоӧны 20 см × 8 см × 10 см. Кымын татшӧм кӧрӧбыс тӧрас ящикӧ, подувтасыс кӧ сылӧн 1,6 м дора квадрат, а джудждаыс 1,4 м?
13. Кымын кубическӧй сантиметр 1 куб. дм? Ыджыд-ӧ объём босьтасны 4 л ва? Кымын литр ва 1 куб. м-ын?
14. Кымын литр ва тӧрӧ дозйӧ, кузьтаыс кӧ сылӧн 30 см, пасьтаыс 20 см, судтаыс — 50 см? Литр ва босьтӧ 1 куб. дм ыджда объём.
15. Кымын гектолитр ва тӧрӧ бассейнӧ, кузьтаыс кӧ сылӧн 3 м, пасьтаыс 1,5 м, а джудждаыс 2 м? 1 гектолитр (гл) = 100 литр (л).
16. 300 морт велӧдчысь вылӧ школа зданньӧ проектируйтігӧн шуисны вӧчны 15 метр пасьта зал. Артавны, кутшӧм колӧ лоны кузьтаыс да судтаыс тайӧ залыслӧн, медым ӧти велӧдчысь вылӧ воис 2,5 кв. м джодж да 12,5 куб. м сынӧд.
V. ЦИЛИНДР. КЫТШВИЗЬ. КРУГ.
1 §. Цилиндр.
1. 42-ӧд серпас вылын петкӧдлӧма телӧ, коді шусьӧ цилиндрӧн. Татшӧм формаыс эм зэв уна предметъяслӧн (миян гӧгӧрса да и техникаса предметъяслӧн). Пример пыдди лоӧны: стӧканъяс, трубаяс, колоннаяс, валъяс, пӧртъяс да с. в.
2. Цилиндр модель веркӧс вылӧ пуктам линейка дорыш, кыдзи сійӧ петкӧдлӧма 43-ӧд серпас вылын. Ми аддзам, мый линейка дорышыс цилиндр подувтасъяс вылас водӧ стӧч, кӧть кодарланьӧ сійӧс эн бергӧд. Сідзкӧ цилиндрыс кыкнан помсяньыс ограничитӧма плоскӧй веркӧсъясӧн, либӧ прӧстӧ плоскосьтъясӧн. Линейка дорышсӧ кӧ ми пуктам бокас, сэки сӧмын ӧтар направленньӧын (43-ӧд серпас) оз понды тыдавны югыдыс веркӧс да дорыш костӧдыс. Быд мукӧд ногӧн пуктігӧн линейка дорышыс цилиндр веркӧсас инмас сӧмын ӧти чутын (44-ӧд серпас). Татшӧм веркӧсыс шусьӧ шыгыра веркӧсӧн, либӧ прӧста шыгыраӧн. Сідзкӧ бокӧвӧй веркӧсыс цилиндрлӧн — шыгыра, цилиндрическӧй веркӧс. Сідзкӧ цилиндрлӧн подувтасъясыс плоскӧй веркӧсъяс, а сылӧн бокӧвӧй веркӧсыс — шыгыра веркӧс.
2 §. Кытшвизь (окружносьт) да круг.
1. Пуктам кабала лист вылӧ цилиндр да подувтас дор гӧгӧрыс гижтам карандашӧн. Миян артмас тупкӧса нюкыля визь ABC, коді шусьӧ кытшвизьӧн (45-ӧд серпас).
2. Кытшвизь гижтӧм вылӧ пельса вӧчысь вӧчӧ тадзи: кыз бумагаысь (картонысь) либӧ фанераысь вундӧ векньыдика планки MN (46-ӧд серпас), сы вылӧ вӧчалӧ, шуам, ӧти мӧдсяньыс 1 см костӧн, некымын розь, кутшӧмкӧ ӧти розь пыр (O) кучкӧ пӧвъяс тув, мӧд розьӧ (A) сюйӧ карандаш йыв; пӧв веркӧс вывтіыс вӧрзьытӧм (O) чут гӧгӧрыс планкисӧ бергӧдлігӧн сылӧн артмӧ кытшвизь, кодӧс гижтӧ карандаш йылыс. Бергӧдлігас карандаш йылыс (A) век лоӧ ӧтылнаын O чутсяньыс, O чутыс шусьӧ кытшвизь шӧрӧн (центрӧн), а OA вундӧгыс — кытшвизь радиусӧн.
Кытшвизьӧн шусьӧ плоскосьт вылын тупкӧса шыгыра визь, кодлӧн став чутыс лоӧ ӧтылнаын ӧти чутсянь, кодӧс шуӧны кытшвизь шӧрӧн.
Татшӧм определенньӧ сертиыс да кытшвизь гижтӧм сертиыс нин гӧгӧрвоана, мый кытшвизьын позьӧ нуӧдны помтӧм уна радиус: ставныс найӧ лоӧны ӧтыдждаӧсь мӧда-мӧдныскӧд (47-ӧд серпас). (Ӧтластитны кӧлеса паличьяскӧд).
3. Садовник кытшвизь гижтігӧн пӧльзуйтчӧ кыкнан помас петляа кӧвйӧн (48-ӧд серпас). Ӧти петляас сійӧ сюйӧ майӧг да тувъялӧ сійӧс муас, а мӧдас сюйӧ ёсь бедь да кӧвсӧ зэлыда кутігмоз сійӧн гижтӧ мутіыс (48-ӧд серпас).
4. Чертёжник кытшвизь гижтігӧн пӧльзуйтчӧ циркульӧн, ӧти циркуль кокас сюйсьӧ карандаш либӧ рейсфедер. Тайӧ жӧ приборнас пондам пӧльзуйтчыны и ми кытшвизь гижтігӧн.
5. Содтыны кӧ кык розь костсӧ бланки вылас (46-ӧд серпас), либӧ кузьджыкӧс кӧ босьтны кӧвсӧ (48-ӧд серпас), либӧ ёнджыка кӧ паськӧдны циркуль вожсӧ, сэки содӧ и ачыс кытшвизьыс.
Татысь петӧ:
кытшвизьлысь радиуссӧ ыдждӧдӧмла ыдждӧ и ачыс кытшвизьыс.
6. Кытшвизьӧн ограничитӧм плоскосьт юкӧныс шусьӧ кругӧн.
Сідзкӧ цилиндр подувтасъясӧн лоӧны кругъяс. Пельса вӧчысь войдӧр гижтӧ пӧв вылын кытшвизь, а сэсся сы кузьта пилитӧ круг.
7. Гижтам бумага вылын кутшӧмкӧ ӧти вылынджык индӧм ногӧн, шуам циркульӧн, ӧткодь радиуса кык кытшвизь (49-ӧд серпас), сідзи, медым О₁А₁ = О₂А₂. Сэсся стӧч кытшвизьӧдыс вундам бумагасьыс кык круг. Пуктам О₂ шӧрчута кругсӧ О₁ шӧрчута круг вылас сідзи, медым налӧн шӧрчутъясыс вевсясисны, сэки кругъясыс вевсясясны жӧ, вевсясясны и налӧн кытшвизьясыс.
Ӧткодь радиуса кык кытшвизь либӧ кык круг ӧти мӧд вылас пуктігӧн вевсясьӧны, мӧд ногӧн кӧ, мӧда-мӧдыскӧд найӧ ӧтыдждаӧсь.
Цилиндрлӧн подувтасъясыс кык ӧтыджда круг.
8. Гижтам кык кытшвизь ӧти О шӧрчутӧн, но разнӧй радиусъясӧн — ОА да OB (50-ӧд серпас). Татшӧм кык кытшвизьыс шусьӧны концентрическӧйясӧн.
Концентрическӧй кытшвизьясӧн лоӧны ортсыса да пытшкӧсса доръясыс кӧлеса таслӧн; концентрическӧй кытшвизьясӧн лоӧны сідзжӧ ортсыса да пытшкӧсса кытшвизьясыс вомӧнног вундӧм трубалӧн. Кык концентрическӧй кытшвизь костса плоскӧй юкӧныс шусьӧ кытшӧн (сьӧдӧдӧм юкӧныс 50-ӧд серпас вылын). Кытшӧн лоӧ вомӧнног вундӧм труба дор.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Кӧні лоӧны плоскосьт вылын ӧти сетӧм чутсянь ӧтыліса чутъясыс?
2. Кытш ортсы кытшвизьлӧн диаметрыс 12,3 см, пытшкӧсса кытшвизьлӧн диаметрыс 5,7 см. Корсьны кытшыслысь пасьтасӧ.
3. Гижтыны кытшвизь О шӧрчутӧн, радиусыс медым вӧлі 4 см. Кӧні лоӧны чутъясыс, костыс кӧ налӧн шӧрчутсяньыс 6 см? 3 см? 4 см?
3 §. Дуга. Хорда. Диаметр. Сектор.
1. 51-ӧд серпас вылын сетӧма кытшвизь O шӧрчутӧн.
Кытшвизьлӧн юкӧныс AB шусьӧ дугаӧн.
Дуга кывсӧ пасйӧны ‿ пасӧн. Шуам, гижӧны тадзи: ‿AB, а шуӧны: дуга AB.
2. Вундӧг AB (51-ӧд серпас), кодлӧн помъясыс лоӧны AB дугаыслӧн помъясыс, шусьӧ хордаӧн.
Хордаӧн шусьӧ быд вундӧг, кодлӧн помъясыс лоӧны кытшвизьлӧн кык чут.
Сідз, шуам, вундӧг MN (51-ӧд серпас) — O шӧрчута круг кытшлӧн хорда. Шуӧны тадзи: хорда MN «зэвтӧ» (стягивайтӧ) — дуга MKN, либӧ: ‿MKN зэвтсьӧ MN хордаӧн.
3. O шӧрчута кытшвизьын нуӧдӧма радиус OA (52-ӧд серпас) да сійӧс мӧдарӧ направленньӧӧн нюжӧдӧма O саяс кытшвизькӧд B чутын вомӧнасьтӧдз. Веськыд визьыс AB, мӧд ног кӧ, кытшвизь шӧрчут пырыс мунысь хорда, шусьӧ диаметрӧн.
Диаметрлысь кузьтасӧ пасъям D шыпасӧн, а радиуслысь кузьтасӧ R шыпасӧн, лоӧ: D = 2R, либӧ R = ½D, мӧд ног кӧ,
диаметр — кык радиус ыджда; радиус — диаметр джын ыджда.
A чутсянь кӧ нуӧдны нӧшта кутшӧмкӧ AC хорда, непосредственнӧй мурталӧмӧн позьӧ аддзыны: AC хордаыс дженьыдджык диаметрысь.
Диаметр — медся ыджыд хорда кытшвизьын.
4. Гижтам бумага лист вылын кытшвизь да сы кузя вундам круг. Нуӧдам кругыслысь диаметрсӧ да диаметр кузьтаыс кругсӧ кусыньтам, сэки кыкнан юкӧныс кругыслӧн вевсяасясны, сідзкӧ диаметрыс кругсӧ да кытшвизьсӧ юкӧ шӧри — кык кругджын вылӧ да кык кытшвизьджын вылӧ.
Хорда сідзжӧ юкӧ кругсӧ да кытшвизьсӧ кык юкӧн вылӧ, но тайӧ юкӧнъясыс абу ӧтыдждаӧсь мӧда-мӧдныскӧд — ӧтиыс ичӧтджык кытшвизьджынсьыс. Кор шуӧны, хорда пӧ зэвтӧ дугасӧ, сэк гӧгӧрвосьӧ ичӧтджык дугаыс, абу кӧ кутшӧмкӧ торъя индӧдъяс.
5. Кругас кӧ нуӧдӧма кык радиус OA да OB (53-ӧд серпас), сэки круг юкӧныс, коді лоӧ OA да OB радиусъяс да AMB дуга костын, шусьӧ секторӧн (серпас вылас секторсӧ сьӧдӧдӧма).
Тӧдӧмысь, сьӧдӧдтӧм юкӧныс кругыслӧн лоӧ сідзжӧ секторӧн, кодлӧн дугаыс ыджыдджык кытшвизьджынсьыс. Тані сідзжӧ, абу кӧ торйӧн урчитӧма, гӧгӧрвосьӧ ичӧтджык дугаа секторыс.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Чертитны разнӧй радиуса кык концентрическӧй кытшвизь. Кытшвизьяслӧн радиусъясыс мӧда-мӧдыслы относитчӧны, кыдзи 2 : 5, кытшыслӧн пасьтаыс 11,7 см. Корсьны кытшвизьясыслысь радиусъяссӧ.
2. Чертитны кытшвизь, радиусыс R = 2 см. Нуӧдны кытшвизяс радиус ОА да А чутсянь ӧти мӧд бӧрся гижтавны кытшвизяс хордаяс, медым быд хорда вӧлі радиус ыдждаыс жӧ — 2 см. Медбӧръя хорда помыслы колӧ вевсяасьны А чуткӧд. Кымын ӧтыджда дуга вылӧ юксяс кытшвизьыс? Кыдзи шусьӧ тупкӧса фигураыс, кодлӧн доръясыс пыдди лоӧны хордаяс?
3. Кымын диаметр позьӧ нуӧдны кытшвизьын? Ӧтыдждаӧсь-ӧ найӧ лоӧны?
4. Нуӧдны кытшвизьын кык диаметр. Кутшӧм юкӧнъяс вылӧ найӧ торйӧдӧны мӧда-мӧднысӧ?
5. Мӧд задача серти петкӧдлыны, кыдзи юкны круг квайт ӧткодь сектор вылӧ.
6. Кытшвизьлӧн радиус 10,5 см. Корсьны кузьтасӧ медся ыджыд хордаыслысь.
7. Диаметрыс сетӧм кытшвизьлӧн 12 см. Концентрическӧй кытшвизьлӧн радиусыс кык пӧв ичӧтджык сетӧм кытшвизь радиусысь. Корсьны сылысь диаметрсӧ.
VI. ПЕЛЬӦСЪЯС.
1 §. Пельӧс. Веськыд пельӧс. Ёсь да тшӧтшыд пельӧс.
1. M чутысь нуӧдӧма кык луч MA да MB (54-ӧд серпас). Найӧ вӧчӧны пельӧс. M чутыс шусьӧ пельӧс йылӧн, а MA да MB лучьясыс — пельӧс доръясӧн. Пельӧс пасйыссьӧ куим шыпасӧн: ӧти пуктыссьӧ пельӧс йыв дінас, а кыкыс — пельӧс доръясас. Куим шыпасӧн пельӧс пасйигӧн йывсӧ индысь шыпасыс пыр гижсьӧ шӧрас. «Пельӧс» кывсӧ вежӧны гижигӧн татшӧм пасӧн: ∠. Гижӧны тадзи: ∠AMB тибӧ ∠BMA, а лыддьӧны: пельӧс AMB либӧ пельӧс BMA.
Мукӧддырйи пельӧссӧ, кор сійӧс оз позь сорлавны мӧд пельӧскӧд, пасйӧны и ӧти шыпасӧн сӧмын йыв дінас, шуам: ∠M; корсюрӧ пельӧссӧ пасйӧны доръяс костас, йыв дінас, шыпасӧн (ичӧтӧн) либӧ лыдпасӧн: ∠a, либӧ ∠1 (56-ӧд серпас).
2. Шуам, кык векньыдик пӧвтор MA да MB асланыс (M) помъясӧд тувъялӧма дзирйӧн (55-ӧд серпас). MA пӧвторсӧ кӧ кольны вӧрзьӧдтӧг, а MB пӧвторсӧ бергӧдны, кыдзи индӧ стрелкаыс, сэки пельӧсыс пондас содны.
MB-сӧ кӧ бергӧдны мӧдарланьӧ (MA-ланьыс), сэки пельӧсыс чинӧ. Пельӧс ыджда йылысь ми тӧдмалам сы серти, кутшӧма ӧти дорыс пельӧсыслӧн матысмӧ мӧд дорас. 56-ӧд серпас вылын 1 пельӧсыс ыджыдджык 2 пельӧсысь, либӧ 2 пельӧсыс ичӧтджык 1 пельӧсысь.
Гижсьӧ тайӧ тадзи: ∠1 > ∠2, либӧ ∠2 < ∠1.
57-ӧд серпас вылын петкӧдлӧма пельӧслысь MB дорсӧ бергӧдігӧн сылысь вочасӧн ыдждӧмсӧ. Первой пельӧслӧн кыкнан дорыс MA да MB вевсяӧсь. Татшӧм случай дырйиыс шуӧны, мый миян эм нульӧвӧй пельӧс.
3. Босьтам AMB пельӧс вывса MB дор вылын кутшӧмкӧ K чут да пондам видзӧдны сы бӧрся MB дорсӧ стрелкаӧн индӧмланьӧ бергӧдігӧн (58-ӧд серпас). MB дорсӧ бергӧдігӧн K чутыс век кутас лоны ӧтылнаын M чутсяньыс, сідзкӧ сійӧ пондас гижтыны M шӧрчутсянь MK ыджда радиуса круг — кытшлысь дуга. Кор MB, M гӧгӧрыс дзоньнас бергӧдчӧм бӧрын, бӧр вевсяасяс MA-кӧд, сэк K чутыс гижтас кытшвизь. Сідзкӧ пельӧс содӧмыскӧд содӧ тшӧтш и KK₁ дугаыс, и кымын ыджыд KK₁ дугаыс, сымын ыджыд и ∠AMB, да, мӧдарӧ, кымын ыджыд ∠AMB, сымын ыджыд KK₁ дугаыс.
4. Видзӧдлам ӧткымын ассикаса пельӧсъяс.
MB луч кӧ бергӧдчас нёльӧд юкӧн вылӧ (59-ӧд серпас), мӧд ног кӧ шуны, KK₂ лоӧ кытшвизь ¼ ыджда, татшӧм пельӧсыс шусьӧ веськыд пельӧсӧн. Татшӧмнас лоӧ горизонтальнӧй да вертикальнӧй кык веськыд визь костса пельӧс. Татшӧмӧсь жӧ лоӧны веськыдпельӧсалӧн да квадратлӧн пельӧсъясыс.
MB лучыс кӧ бергӧдчас джынвыйӧ, сэки K чутыс вӧчас KK₃ ‿ (60-ӧд серпас), татшӧм пельӧсыс шусьӧ паськӧдӧмӧн, либӧ веськӧдӧм пельӧсӧн. Тайӧ случаяс пельӧс доръясыс — MA да MB — мунӧны мӧда-мӧдсяньыс (противоположнӧй бокъясӧ) да вӧчӧны ӧти веськыд визь (диаметр KK₃).
Паськӧдӧм пельӧс кык веськыд пельӧс ыджда.
Быд веськыд пельӧс соответствуйтӧ ¼ бергӧдчӧмлы, а сідзкӧ став веськыд пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь, сідзжӧ ӧтыдждаӧсь став паськӧдӧм пельӧсъясыс.
Бергӧдам MB лучсӧ нӧшта ¼ вылӧ, артмас паськӧдӧм пельӧсысь ыджыдджык пельӧс, сійӧ лоӧ куим веськыд пельӧс ыджда (61-ӧд серпас).
Бергӧдам MB-сӧ нӧшта ¼ вылӧ, сэки MB-ыс вевсяасяс MA-кӧд. Тайӧ случаяс артман тыр пельӧс лоӧ 4 веськыд пельӧс ыджда (62-ӧд серпас).
5. Кык веськыд визь MA да MB (59-ӧд серпас), кодъяс мӧда-мӧдныскӧд вомӧнасигӧн вӧчӧны веськыд пельӧс, шусьӧны мӧда-мӧдныслы (воча) перпендикулярнӧй визьясӧн. MB лоӧ перпендикулярнӧйӧн MA-лы и мӧдарӧ — MA лоӧ перпендикулярнӧй MB-лы. Дзик жӧ тадзи MK₂ (60-ӧд серпас) лоӧ перпендикулярнӧйӧн KK₃-лы, а KK₃-ыс лоӧ перпендикулярнӧйӧн MK₂-лы. «Перпендикуляр» кывсӧ вежӧны ⊥ пасӧн да гижӧны тадзи (61-ӧд серпас): K₃K ⊥ K₂K₄ либӧ K₂K₄ ⊥ K₃K, а лыддьӧны тадзи: K₃K перпендикулярнӧй K₂K₄-лы, либӧ K₂K₄ перпендикулярнӧй K₃K-лы.
6. Бумага вылын перпендикуляръяс гижталігӧн пӧльзуйтчӧны чертёжнӧй куимпельӧсаӧн (63-ӧд серпас). Сыын ∠AMK — веськыд, сідзкӧ AM ⊥ MK либӧ MK ⊥ AM.
Задача. Сетӧма веськыд визь CD, колӧ гижтыны сылы перпендикулярнӧй веськыд визь (64-ӧд серпас).
Решитӧм. Пуктам куимпельӧсасӧ серпас вылас сідзи, медым MA дорыс вевсяасяс CD-кӧд, да гижтам MB дорӧдыс веськыд визь MK. Сэки MK ⊥ CD.
Дзик жӧ тадзи вӧчӧны, кор колӧ нуӧдны перпендикулярнӧй визь сетӧм CD веськыд визьлы кутшӧмкӧ сывывса (O₁) либӧ сысайса (O₂) чут пыр.
Веськыд визь бердас ми пуктам линейка, линейка бердас куимпельӧсаӧс пуктам сідзи, медым сылӧн MA дорыс ӧтлаасис линейкаыскӧд; куимпельӧсасӧ сійӧ MA дорнас нуӧдам линейка кузяыс сэтчӧдз, кытчӧдз куимпельӧсаыслӧн мӧд дорыс — MB — оз мун стӧч O₁ либӧ O₂ чут пырыс (65-ӧд серпас); сэсся MB дорӧдыс нуӧдам веськыд визь, сійӧ и лоӧ миянӧн корсян перпендикулярыс.
7. MB лучыс кӧ (66-ӧд серпас, 1) вӧчас ¼-ысь ичӧтджык бергӧдчӧм, сэки артмас веськыд пельӧсысь ичӧтджык пельӧс.
Веськыд пельӧсысь ичӧтджык пельӧс шуся ёсь пельӧсӧн.
MB лучыс кӧ вӧчас четьвертысь ыджыдджык, но джынсьыс ичӧтджык бергӧдчӧм (66-ӧд серпас, 3), сэки артмас пельӧс, коді веськыдысь ыджыдджык, но паськӧдӧм пельӧсысь ичӧтджык.
Веськыдысь ыджыдджык, но паськӧдӧмысь ичӧтджык пельӧс шусьӧ тшӧтшыд (тупой) пельӧсӧн.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Кутшӧм пельӧс вӧчӧны часі стрелкаяс 2 часын? 3 часын? 5 часын? 6 часын?
2. Гижтыны веськыд визь да пасйыны сы вылӧ кык чут. Нуӧдны тайӧ чутъяс пырыс веськыд визьяс, сетӧм визьыслы перпендикуляръяс.
3. Гижтыны веськыд визь да пасйыны ӧтар-мӧдар бокланьыс сысянь кык чут. Нуӧдны тайӧ чутъяс пырыс веськыд визьяс, сетӧм веськыд визьыслы перпендикуляръяс.
4. Гижтыны кытшвизь да нуӧдны сыын мӧда-мӧдыслы перпендикулярнӧй кык диаметр.
5. Гижтыны кытшвизь да сывывса кутшӧмкӧ чутсянь нуӧдны мӧда-мӧдыслы перпендикулярнӧй кык хорда. Шӧрчутсяньыс нуӧдны кык радиус, тайӧ хордаясыслы перпендикуляръяс.
6. Сетӧм кытшвизьын гижтыны AB хорда. Хорда B помас гижтыны сылы перпендикулярнӧй хорда BC; BC хордаса C помас гижтыны сылы перпендикулярнӧй хорда CD, сэсся CD хорда D помас гижтыны CD-ыслы перпендикулярнӧй хорда. Чертёжсӧ кӧ вӧчӧма лючки, сэки медбӧръя хордаыслы колӧ мунны A чут пыр. Кутшӧм фигура артмас?
2 §. Пельӧс мурталӧм. Транспортир.
1. Кытшвизь юксьӧ 360 ӧтыджда юкӧн (дуга) вылӧ; быд 1⁄360 кытшвизьлӧн шусьӧ дугӧвӧй градусӧн.
Кытшвизь юкысь чутъяссӧ кӧ ӧтлаавны O шӧрчуткӧд, сэки став кругыс юксяс 360 ӧтыджда сектор вылӧ. Пельӧс йылыс быд секторлӧн лоӧ шӧрчутас, а сылы доръяснас лоӧны радиусъяс. Быдӧн 360 пельӧсъяс пиысь шусьӧны пельӧс градусӧн. «Градус» кывсӧ вежӧны ичӧтик нульӧн, сійӧ пуктыссьӧ градус лыд веськыдладорас, выліас (°); гижӧны тадзи: ‿20° (либӧ тадзи: 20°‿), лыддьӧны: 20 градуса дуга, да ∠20° — 20 градуса пельӧс.
Кытшвизь шӧрчутын йывнас инмысь пельӧс шусьӧ шӧр пельӧсӧн. Сідзкӧ кымын дугӧвӧй градус дугаын, сы мында жӧ пельӧс градус сылы соответствуйтысь шӧр пельӧсын.
Сідзкӧ кытшвизьын лоӧ 360 дугӧвӧй градус
да тыр пельӧсын „ 360 пельӧс „
кытшвизь четьвертын „ 90 дугӧвӧй „
да веськыд пельӧсын „ 90 пельӧс „
кытшвизь джынйын „ 180 дугӧвӧй „
да паськӧдӧм пельӧсын лоӧ 180 пельӧс „
2. 1 дугӧвӧй (пельӧс) градус (1°) юксьӧ 60 ӧтыджда юкӧн вылӧ — 60 дугӧвӧй (пельӧс) минут вылӧ. «Минут» кывсӧ пасйӧны визьторйӧн минута лыд веськыдладорас выліас (′). Тадзи гижӧны: 14°15′, лыддьӧны 14 градус 15 минут. 1 дугӧвӧй (пельӧс) минутыс (1′) ачыс бара жӧ юксьӧ 60 ӧтыджда юкӧн вылӧ — 60 дугӧвӧй (пельӧс) секунд вылӧ. «Секунд» кывйыс пасйыссьӧ кык визьторйӧн секунд лыд веськыдладорас, выліас (″). Тадзи гижӧны: 23°21′34″, лыддьӧны: 23 градус 21 минут да 34 секунд.
3. 67-ӧд серпас вылын лоӧ пельӧс — AOB, юкӧма сійӧс 10 градус вылӧ. O чут босьтӧма шӧрчут пыдди да нуӧдӧма кык концентрическӧй кытшвизь, кодъяс вомӧналӧны пельӧс доръяссӧ. Быд дугаын — AB-ын, A₁B₁-ын — лоӧ 10 дугӧвӧй градус (10°), но быд 1° дуга OB радиуса кытшвизьлӧн ыджыдджык 1° дугаысь OB₁ радиуса кытшвизьын серти. Сідзкӧ разнӧй кытшвизьяслӧн разнӧй кузьтаа дугаясын (‿AB > ‿A₁B₁), налӧн кӧ пельӧсъясыс ӧткодьӧсь, лоӧ ӧтмында градус (минут, секунд); но кымын ыджыд радиусыс кытшвизьыслӧн, сымын ыджыд кузьтаыс 1 градуса дугалӧн. Дугӧвӧй градуслӧн ыдждаыс — радиус кузьта сайын.
Дугӧвӧй градус лоӧ радиус кузьта сайын, пельӧс градус жӧ кытшвизь радиус кузьтаысь оз зависит. Тасянь петӧ: мый пельӧслӧн ыдждаыс оз зависит доръяс кузьтаысь.
4. Но ми тӧдам, дугӧвӧй градус (минут, секунд) лыдыс сы мында жӧ, мыйта и шӧр пельӧсса пельӧс градус (минут, секунд) лыдыс. Сы понда шуӧны, шӧр (центральный) пельӧс пӧ муртассьӧ сылы соответствуйтысь дугаӧн.
Тайӧ свойствоыс относитчӧ быдсикас пельӧсъяслы, быд пельӧс ӧд позьӧ видлавны кыдзи шӧр пельӧс.
Пельӧс да дуга костса зависимосьтӧн пӧльзуйтчӧны пельӧсъяс мурталігӧн да найӧс вӧчигӧн сідз шуана вешталана (переносимый) круг либӧ транспортир отсӧгӧн. Транспортир — сійӧ кругджын — либӧ, стӧчджыка кӧ, кытшджын (68-ӧд серпас) картонысь, металлысь либӧ целлулоидысь, сы вылӧ вӧчалӧма юкӧнъяс, быд торъя юкӧнын лоӧ 1°. Медым удобнӧджык вӧлі артасьны, татшӧм юкӧнъяссӧ кругджын вылас вӧчӧма ӧтарланьӧ и мӧдарланьӧ. Кругджыныс помасьӧ масштабнӧй линейкаӧн, кодӧс юкӧма сантиметръяс да миллиметръяс вылӧ; ӧти дорыс линейкаыслӧн вевсяасьӧ кругджын диаметрыскӧд; линейка вылас эм пас, сійӧ вевсяасьӧ круг шӧрчутыскӧд. Линейкаыс да кругджынйыс торъявтӧмӧсь.
5. Транспортирӧн пельӧсъяс мурталӧм. Сетӧма пельӧсъяс — AOB, COD да EOF (69-ӧд да 70-ӧд серпасъяс). Медым муртавны налысь ыдждасӧ, транспортирсӧ пуктам AOB пельӧс вылас сідзи, медым транспортирыслӧн O шӧрчутыс вевсяасяс O пельӧс йывкӧд да медым транспортирыслӧн диаметрыс мунас ӧти пельӧс дор вывтіыс, шуам, OA вывті. Воддза случаяс миян лоӧ 30° дуга, мӧдас — 40° дуга, коймӧдас — 50° дуга. Сідзкӧ, ∠AOB = 30°, ∠COD = 40°, ∠EOF = 50°. Мукӧддырйи транспортир вылас овлӧны нӧшта градусджынъяса юкӧнъяс; градус четьвертъяс босьтсьӧны ылӧсас, син серти.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Мый шусьӧ дугӧвӧй градусӧн?
2. Мый шусьӧ пельӧс градусӧн?
3. Кутшӧм пельӧс шусьӧ шӧр пельӧсӧн?
4. Кыдзи шусьӧ 1⁄90 веськыд пельӧслӧн?
5. Вежсяс-ӧ пельӧслӧн ыдждаыс, нюжӧдны кӧ сылысь доръяссӧ?
6. Кутшӧм дуга вӧчӧ часі стрелкалӧн помыс 1 часын? 5 часын?
7. Мый сэтшӧм транспортирыс?
8. Гижтыны ёсь да тшӧтшыд пельӧсъяс да муртавны найӧс транспортирӧн.
5 §. Пельӧс вӧчӧм. Пельӧсъясӧс ӧтластитӧм.
1. 1 задача. Вӧчны 35° ыджда пельӧс.
Решитӧм. Медым вӧчны 35° ыджда пельӧс, ми вӧчам тадзи: босьтам произвольнӧй кузьтаа веськыд визь MN (71-ӧд серпас) да сы вылын произвольнӧй A чут. Сэсся MN веськыд визь вылас пуктам транспортир сідзи, медым сылӧн O шӧрчутыс вевсяасис A чуткӧд, а диаметрыс — MN веськыд визькӧд. Транспортир вылас 35°-са лыдӧн пасйӧм чут весьтӧ бумага вылас вӧчам пас — K₁ либӧ K₂. Сэсся нуӧдам веськыд визьяс AB₁ либӧ AB₂, миян лоӧны корсян пельӧсъяс: ∠NAB₁ = 35° либӧ ∠MAB₂ = 35°.
2. 2 задача. Сетӧма кык пельӧс — ABC да DEF (72-ӧд серпас).
Код пельӧсыс ыджыдджык?
Решитӧм. Кыкнансӧ транспортирӧн мурталӧм бӧрын ми аддзам:
∠ABC = 34°, ∠DEF = 58°. Сідзкӧ ∠DEF > ∠ABC.
3. 3 задача. Сетӧма пельӧс ABC (73-ӧд серпас). Вӧчны сы ыджда жӧ пельӧс.
Решитӧм. Мурталам ∠ABC транспортирӧн (40°); сэсся транспортирсӧ вуджӧдам произвольнӧй MN веськыд визь вылӧ да кутшӧмкӧ сывывса B₁ чут бердын вӧчам 40°-а пельӧс. Лоӧ ∠A₁B₁C₁, коді ∠ABC ыджда жӧ.
Гижсьӧ тадзи: ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC .
4. Воддза кыкнан задачасӧ позьӧ решитны и транспортиртӧг, циркульӧн да линейкаӧн. Сетӧма пельӧсъяс ABC да DEF (74-ӧд серпас). Нуӧдам BA = ED радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ B шӧрчутӧн, а мӧдсӧ E шӧрчутӧн. AC да DF дугаясыс аснаныс вежасны транспортир дугаясӧс. Мурталам циркульӧн либӧ босьтам циркульӧ DF костсӧ, нуӧдам A шӧрчутсянь DF ыджда радиусӧн дуга, коді вомӧналӧ AC дугасӧ. Тані вермас лоны куим случай: 1) тайӧ дугаыс вомӧналас AC дугасӧ C чутын, сэки ‿DF = ‿AC да пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь; 2) тайӧ дугаыс вомӧналас AC дугасӧ K₂ чутын (∠ABC пытшкас), сэки ‿DF < ‿AC да ∠DEF < ∠ABC; 3) дугаыс вомӧналас AC дугасӧ K₃ чутын (ABC пельӧс саяс), сэки ‿DF > ‿AC да ∠DEF >∠ABC .
Тадзинас позьӧ, сетӧм пельӧссӧ муртавтӧг, вӧчны сы ыджда жӧ пельӧс. Шуам, колӧ вӧчны пельӧс, коді мед равнӧй сетӧм ABC пельӧслы (75-ӧд серпас). Босьтам произвольнӧй веськыд визь MN да сы вылын кутшӧмкӧ B₁ чут. Нуӧдам ӧткодь радиуса (произвольнӧй) кык кытшвизь B да B₁ шӧрчутӧн: первойыс вомӧналӧ сетӧм пельӧс доръяссӧ A да C чутъясын, мӧдыс вомӧналӧ MN-сӧ A₁ чутын. Босьтам циркульӧ AC костсӧ да нуӧдам ӧти AC радиуса кык дуга — ӧтисӧ A шӧрчутӧн, мӧдсӧ — A₁ шӧрчутӧн. Первой дугаыс вомӧналас AC дугасӧ C чутын, мӧдыс — A₁C₁ дугасӧ C₁ чутын. Сэсся B₁ чутсяньыс нуӧдам веськыд визь B₁C₁, миян лоӧ ∠A₁B₁C₁, сетӧм ∠ABC-кӧд ӧтыджда: AC да A₁C₁ дугаясыс соответствуйтӧны транспортир дугаяслы, а найӧ кор ӧтыдждаӧсь, сэк ӧтыдждаӧсь и пельӧсъясыс, мӧд ног кӧ ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Вӧчны 45°-са, 65°-са, 80°-са, 110°-са, 150°-са пельӧсъяс.
2. Чертитны кутшӧмкӧ пельӧс да вӧчны сы ыджда жӧ пельӧс (кык ногӧн).
3. Кыдзи ӧтластитны мӧда-мӧдныскӧд кык пельӧс: 1) транспортирӧн, 2) циркульӧн?
4 §. Пельӧсъяскӧд действийӧяс.
1. Задача. Сетӧма кык пельӧс: ∠ABC да ∠DEF (76-ӧд серпас). Корсьны тайӧ пельӧсъясыслысь суммасӧ.
Решитӧм. Мурталам транспортирӧн быд сетӧм пельӧс да аддзам: ∠ABC = 20°, ∠DEF = 42°. Сідзкӧ: ∠ABC + ∠DEF = 20° + 42 = 62°.
Сэсся транспортирӧн вӧчам пельӧс KLM = 62°. Тайӧ пельӧсыс и лоӧ ABC да DEF пельӧсъяслӧн суммаыс.
Позис эськӧ войдӧр вӧчны 20° пельӧс да сійӧ дор вылын вӧчны 42° пельӧс, сэки эськӧ миян лои сійӧ жӧ ∠KLM = 62°.
Тайӧ задачасӧ ми решитім мурталӧмӧн да арталӧмӧн.
2. Циркуль да линейка отсӧгӧн тайӧ задачаыс решитчӧ тадзи: босьтам произвольнӧй веськыд визь OO₁ (77-ӧд серпас) да сы вылын произвольнӧй L чут. Сэсся ӧти произвольнӧй радиусӧн нуӧдам куим кытшвизь, кодъяслӧн шӧрчутъясыс B, E да L (76-ӧд да 77-ӧд серпасъяс). Ӧти кытшвизь вомӧналӧ ∠ABC-лысь доръяссӧ A да C чутъясын, мӧд — ∠DEF доръяссӧ D да F чутъясын да коймӧд — OO₁ веськыд визьсӧ K чутын. AC кост ыджда радиусӧн вомлалам бӧръя (KM) дугасӧ K шӧрчута дугаӧн; мед дугаясыслӧн вомӧнасян чутыс лоӧ N; сэсся FD ыджда радиусӧн да N шӧрчутӧн нуӧдам дуга, коді KM дугаӧс вомӧналас M чутын. LM веськыд визь нуӧдӧмӧн ми аддзам пельӧсъясыслысь корсян суммасӧ, мӧд ног кӧ: ∠KLM = ∠KLN + ∠NLM либӧ ∠KLM = ∠ABC + ∠DEF.
Ӧні ми решитім тайӧ задачасӧ тэчӧмӧн (построением).
Кор задачасӧ лоӧ вӧчӧма циркульӧн да линейкаӧн, сэк сійӧс позьӧ проверитны транспортир отсӧгӧн мурталӧмӧн да арталӧмӧн.
3. Задача. Корсьны разносьт кык пельӧслысь: ∠ABC да ∠DEF (78-ӧд серпас).
Решитӧм. Мурталам транспортирӧн ∠ABC (53°) да ∠DEF (18°), пельӧсъясыслысь разносьтсӧ аддзам арталӧмӧн: 53° − 18° = 35°.
Тайӧ жӧ задачасӧ нӧшта решитам тэчӧмӧн. Войдӧр вӧчам ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC (79-ӧд серпас), сэсся B₁C₁ вылас вӧчам ∠C₁B₁K (A₁B₁C₁ пельӧс пытшкас), коді DEF пельӧс ыджда. Сэки ∠KB₁A₁ и лоӧ ABC да DEF пельӧсъяс разносьтӧн.
4. Задача. Ӧктыны ∠ABC 3 вылӧ (80-ӧд серпас).
Решитӧм. Ӧктыны ∠ABC тыр лыд вылӧ, шуам 3 вылӧ, сійӧ лоӧ босьтны ∠ABC куимысь (3 пӧв), мӧд ногӧн кӧ — содтыны 3 ӧткодь пельӧс. ∠A₁B₁C₃ пельӧсыс и лоӧ корсян пельӧсӧн. Гижсьӧ: ∠ABC · 3 = ∠A₁B₁C₃.
5. Задача. Юкны сетӧм ABC пельӧссӧ шӧри, либӧ кык ӧтыджда пельӧс вылӧ (81-ӧд серпас).
Решитӧм. Войдӧр транспортирӧн мурталам пельӧссӧ (52°); лоӧ 52° : 2 = 26°, сэсся BA (либӧ BC) дор вылас вӧчам ∠ABD = 26°. Тадзи жӧ позьӧ юкны пельӧстӧ 3, 4, 5 да с. в. ӧтыджда пельӧсъяс вылӧ.
Циркульӧн да линейкаӧн пельӧс юксьӧ шӧри сідзи жӧ, кыдзи ми вӧчлім вундӧг шӧри юкигӧн. Став задачаыс лоӧ дугасӧ шӧри юкӧмын.
Шуам, сетӧма пельӧс ABC (82-ӧд серпас). Нуӧдам B чутсянь произвольнӧй радиуса кытшвизь. Сійӧ вомӧналас пельӧс доръяссӧ K да L чутъясын. Восьтам циркуль вожсӧ KL хорда джынйысь паськыдджыка да нуӧдам кык ӧтыджда кытшвизь, K да L шӧрчутъясӧн; кытшвизьясыс вомӧнасясны кык чутын — M да N. Нуӧдам веськыд визь MN; сійӧ юкас и хордасӧ, и дугасӧ шӧри. Сэсся тайӧ дуга шӧрсӧ да B йывсӧ ӧтлаалам веськыд визьӧн, сійӧ веськыд визьыс и юкас ABC пельӧссӧ шӧри. Тайӧ веськыд визьыс мунас M да N чутъяс да пельӧс B йыв пыр. Сійӧ шусьӧ пельӧс равноделящӧйӧн, либӧ биссектрисаӧн. Проверитӧм могысь босьтам циркульӧ OK да OL дугаяслысь пом костъяссӧ. Если кӧ OK = OL, сэк лоӧ, мый ми вӧчим лючки: ‿OK = ‿OL, сідзкӧ и ∠ABO = ∠CBO.
Позьӧ юкны быд пельӧсджын шӧри, мӧд ног кӧ — ABC пельӧссӧ юкны 4 ӧтыджда юкӧн вылӧ; сідз жӧ позьӧ юкны и 8, 16 да с. в. ӧтыджда юкӧнъяс вылӧ.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Чертитны кык пельӧс. Корсьны налысь суммасӧ да разносьтсӧ (кык ногӧн).
2. Сетӧма ёсь пельӧс ABC; ӧктыны сійӧс 4 вылӧ (кык ногӧн).
3. Юкны сетӧм кругсӧ шӧри, 4 пельӧ, 8 пельӧ, 16 пельӧ.
4. Кымын градус да минут лоӧ сектор шӧр пельӧсын, секторыс кӧ лоӧ 1⁄16 кругыслӧн?
5. Кык пельӧслӧн разносьтыс лоӧ 12°20′, а налӧн суммаыс лоӧ 78°30′. Ыджыдӧсь-ӧ лоӧны асьныс пельӧсъясыс?
6. Веськыд пельӧс юкӧма кык пельӧс вылӧ, ӧтиыс ыджыдджык мӧдсьыс 10°10′-ӧн. Корсьны тайӧ пельӧсъяссӧ.
7. Кык пельӧслӧн суммаыс лоӧ 180°. Ӧтиыс на костысь 3,5 пӧв ыджыдджык мӧдсьыс. Ыджыд-ӧ лоӧ быд пельӧс?
8. Сетӧма 30°40′-са пельӧс. Пельӧс йылас ӧти дорыслы нуӧдӧма перпендикуляр. Тӧдмавны перпендикуляр да мӧд дор костса пельӧссӧ.
9. Сетӧма 140°-са пельӧс. Йыв пырыс нуӧдӧма кык веськыд визь, ӧтиыс лоӧ ӧти пельӧс дорыслы перпендикулярӧн, мӧдыс — перпендикуляр мӧд дорыслы. Тӧдмавны тайӧ перпендикуляръяс костса пельӧссӧ.
10. Мый шусьӧ пельӧс биссектрисаӧн?
11. Сетӧма 40°50′-са пельӧс. Йыв пырыс нуӧдӧма веськыд визь, коді перпендикулярнӧй сійӧ ӧти дорлы. Тӧдмавны сетӧм пельӧс биссектриса да тайӧ веськыд визь костса пельӧссӧ.
5 §. Секторнӧй диаграммаяс.
Ми видлалім нин столба либӧ веськыдпельӧса диаграммаяс, ӧні видзӧдлам секторнӧй диаграммаяс.
Задача. Петкӧдлыны диаграммаӧн велӧдчысьяслысь социальнӧй составсӧ; группаын 40 морт, на пытшкысь рабочӧйяслӧн челядь 22, крестьяна челядь 14 да служащӧйяслӧн челядь 4.
Решитӧм.
Рабочӧйяслӧн челядь 22/40 = 0,55 ставсьыс = 55%
Крестьяналӧн „ 14/40 = 0,35 „ = 35%
Служащӧйяслӧн „ 4/40 = 0,10 „ = 10%.
Босьтам произвольнӧй радиуса, шуам 5 см, круг. Юкам кругсӧ транспортирӧн 100 ӧтгырся сектор вылӧ. Быд секторлӧн пельӧсыс лоӧ 360° : 100 = 3,6°; сэсся вӧчам ӧти сектор — 3,6° · 55 = 198°, мӧдӧс — 3,6° · 35 = 126°, коймӧдӧс 3,6° · 10 = 36° (83-ӧд серпас).
Торъя секторъяссӧ позьӧ сьӧдӧдны (штрихуйтны) разнӧй ногӧн либӧ краситны разнӧй рӧмӧн. Татшӧм диаграммаыс син водзын петкӧдлӧ сетӧм группаыслысь социальнӧй составсӧ.
Секторнӧй диаграммаяс вӧчигӧн медся лӧсьыд пӧльзуйтчыны 100 ӧтгырся сектор вылӧ юкӧм кругӧн. Татшӧм кругыс шусьӧ прӧчента кругӧн. Прӧчента кругӧн пыдди позьӧ пӧльзуйтчыны и прӧчента транспортирӧн (84-ӧд серпас). Прӧчента транспортирлӧн (кругджынлӧн) дугаыс юксьӧ 50 ӧтгырся юкӧн вылӧ.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Чертитны веськыд визьяс, AB, CD, EF, да М чут (85-ӧд серпас). Нуӧдны М чут пырыс веськыд визьяс, первой, мӧд да коймӧд веськыд визьяслы перпендикуляръяс (куимпельӧса отсӧгӧн).
2. Кык пельӧс пытшкысь ӧтиыс лоӧ 50% мӧдыслӧн. Тайӧ пельӧсъясыслӧн разносьтыс лоӧ 30°. Ыджыд-ӧ лоӧ быд пельӧс да ыджыд-ӧ лоӧ налӧн суммаыс? Вӧчны тайӧ пельӧсъяссӧ да налысь суммасӧ.
3. Вӧчны произвольнӧй пельӧс да юкны сійӧс ӧтгырся 4 юкӧн вылӧ: 1) транспортирӧн, 2) циркульӧн да 3) линейкаӧн.
4. Юкны паськӧдӧм пельӧс шӧри циркуль да линейка отсӧгӧн.
5. Группаын 35 велӧдчысь пытшкысь математикаысь удж вӧчисны хорошо вылӧ 14 морт, удовлетворительно вылӧ 14 морт да неудовлетворительно вылӧ 7 морт. Вӧчны секторнӧй диаграмма.
6. Колхозын 1250 га му; сы пытшкысь 240 га вӧр, 600 га кӧдза му, 400 га видзьяс, мукӧдыс стрӧйбаяс улын да шогмытӧм муяс. Вӧчны диаграмма.
VII. КУИМПЕЛЬӦСАЯСЛЫСЬ ДА УНАПЕЛЬӦСАЯСЛЫСЬ ПЛӦЩАДЬЯС АРТАЛӦМ
1 §. Куимпельӧса.
1. Куимпельӧсаӧн шусьӧ куим вундӧга чегласьӧм визьӧн ограничитӧм плоскосьтлӧн юкӧн (86-ӧд серпас).
AB, BC да CA вундӧгъяс лоӧны куимпельӧсалы доръясӧн, а A, B да C пельӧсъясыс — куимпельӧсалӧн пельӧсъяс. Пельӧсъяслӧн йывъясыс шусьӧны куимпельӧса йывъясӧн. Куимпельӧсалӧн 3 дор да 3 пельӧс. «Куимпельӧса» кывсӧ пасйӧны ∆ пасӧн.
Куимпельӧсалӧн ӧти дор шусьӧ куимпельӧса подувтасӧн, шуам, CA; сэки мукӧд кык дорыс шусьӧны бокӧвӧй доръясӧн (AB да BC).
2. Куимпельӧса, кӧні став пельӧсыс ёсьӧсь (кыдзи 86-ӧд серпас вылын), шусьӧ ёсь пельӧсаӧн.
Куимпельӧсалӧн кӧ ӧти пельӧс веськыд, шусьӧ веськыд пельӧса куимпельӧсаӧн (87-ӧд серпас). Веськыд пельӧс вӧчысь доръясыс — CB да CA — шусьӧны катетъясӧн, а веськыд пельӧсыслы паныда дорыс шусьӧ гипотенузаӧн.
Куимпельӧса, кодлӧн ӧти пельӧс тшӧтшыд, шусьӧ тшӧтшыд пельӧсаӧн (88-ӧд серпас).
3. AB дорлысь кузьтасӧ пасйӧны C шыпасӧн, сідзкӧ AB = c; тадзи жӧ BC = a, CA = b (86-ӧд серпас). Сідзкӧ, веськыд пельӧса куимпельӧсаын (87-ӧд серпас) катетъясыслӧн кузьтаыс кутас пасйыссьыны a да b шыпасъясӧн, а гипотенузалӧн кузьтаыс c шыпасӧн. Колӧ шуны, мый c дорлы паныда лоӧ ∠C, a дорлы паныда лоӧ ∠A, b дорлы паныда лоӧ ∠B.
4. Нуӧдам ABC куимпельӧсаын B йывсяньыс подувтасыслы перпендикуляр BD (89-ӧд серпас), BD перпендикулярыс лоӧ куимпельӧсалӧн судта. Тадзи жӧ позьӧ нуӧдны судтаяс (перпендикуляръяс) A да C йывъяссянь. Куимпельӧсаын позьӧ нуӧдны 3 судта.
Веськыд пельӧса куимпельӧсаын катетъясыс лоӧны сылы судтаясӧн (90-ӧд серпас); BC катет лоӧ AC подувтаслы судта, а CA катет лоӧ BC подувтаслы судта; веськыд пельӧс йывсяньыс AB подувтас вылӧ — гипотенуза вылӧ — нуӧдсьӧ коймӧд судта — CD.
Тшӧтшыд пельӧса куимпельӧсаын (91-ӧд серпас) A йывсяньыс перпендикуляр нуӧдсьӧ сӧмын BC подувтассӧ C йыв саяс нюжӧдӧм бӧрын; сідзжӧ и B йывсянь судтасӧ позьӧ нуӧдны сӧмын AC дорсӧ C йыв саяс нюжӧдӧм бӧрын. Коймӧд судтасӧ позьӧ нуӧдны C йывсянь AB дор вылас.
Колӧ торйӧн урчитны, мый став куимнан судтаыс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Ёсь пельӧса куимпельӧсаын (89-ӧд серпас) судтаясыслӧн вомӧнасян чутыс лоӧ куимпельӧса пытшкас (O чут). Веськыд пельӧса куимпельӧсаын сійӧ вевсяасьӧ веськыд пельӧс C йывкӧд (90-ӧд серпас), а тшӧтшыд пельӧса куимпельӧсаын сійӧ лоӧ куимпельӧса саяс, ортсын (91-ӧд серпас).
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Мый шусьӧ куимпельӧсаӧн?
2. Кымын дор, кымын пельӧс куимпельӧсалӧн?
3. Кутшӧм куимпельӧса шусьӧ веськыд пельӧсаӧн? тшӧтшыд пельӧсаӧн?
4. Кыдзи шусьӧны доръясыс веськыд пельӧса куимпельӧсалӧн?
5. Мый шусьӧ судтаӧн куимпельӧсаын?
6. Кымын судта позьӧ нуӧдны куимпельӧсаын?
7. Вӧчны тшӧтшыд пельӧса куимпельӧса да нуӧдны сэні куимнан судтасӧ. Нуӧдны судтаяссӧ мӧда-мӧдныскӧд вомӧнасьтӧдз.
2 §. Куимпельӧсалӧн да унапельӧсалӧн плӧщадь.
1. 92-ӧд серпас вылын сетӧма веськыдпельӧса ABCD да квадрат A₁B₁C₁D₁. Кыкнанас нуӧдӧма веськыд визь, коді ӧтлаалӧ кык паныда пельӧсъясыслысь йывъяссӧ: AC да A₁C₁. Тайӧ веськыд визьясыс шусьӧны диагональясӧн.
Вундыны кӧ доръясӧдыс веськыдпельӧсасӧ (либӧ квадратсӧ) да сэсся вундыны сійӧс диагональӧдыс, миян лоӧ кык ӧтыджда куимпельӧса: мӧда-мӧд вылас пуктігӧн найӧ вевсяасьӧны.
Веськыдпельӧсалӧн (либӧ квадратлӧн) диагональыс юкӧ сійӧс кык ӧтыджда куимпельӧса вылӧ.
Сідзкӧ, ABC∆ плӧщадь = ADC∆ плӧщадьлы = ABCD пл. / 2.
2. 93-ӧд серпас вылын петкӧдлӧма 6 веськыд пельӧса куимпельӧса. Найӧс ставнысӧ содтӧма веськыдпельӧсаясӧдз, да быд веськыдпельӧсаын лоӧма кык ӧтыджда куимпельӧса. Веськыдпельӧсалӧн кӧ плӧщадьыс лоӧ a · b, сэк веськыд пельӧса куимпельӧсалӧн плӧщадьыс лоӧ ½ ab, мӧд ног кӧ, подувтассӧ судта вылӧ ӧктӧмысь лоан джын произведенньӧ ыджда (либӧ катетъясысь лоан джын произведенньӧ ыджда).
3. 94-ӧд серпас вылын миян лоӧ куим ёсь пельӧса куимпельӧса, быд куимпельӧсаын нуӧдӧма ӧти судта. Тайӧ судтанас куимпельӧсаыс юксьӧ кык веськыд пельӧса куимпельӧса вылӧ, быд веськыд пельӧса куимпельӧсаӧс содтӧма веськыдпельӧсаӧдз. Ӧти куимпельӧсаыслӧн плӧщадьыс лоӧ ӧти веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда, мӧдыслӧн — мӧд веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда; куимпельӧсалӧн плӧщадьыс лоӧ веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда, кодлӧн (веськыдпельӧсаыслӧн) подувтасыс ӧтыджда куимпельӧса подувтаскӧд, а судтаыс ӧтыджда куимпельӧса судтакӧд. Тадз: куимпельӧсалӧн плӧщадьыс равняйтчӧ подувтассӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан джын произведенньӧлы.
S∆ = ½ab.
4. Босьтам сэсся тшӧтшыд пельӧса куимпельӧса ABC (95-ӧд серпас), нуӧдам сылысь судтасӧ — AD. Куимпельӧса ABD — веськыд пельӧса, куимпельӧса ACD — сідзжӧ веськыд пельӧса. ABD куимпельӧса плӧщадьсьыс кӧ чинтыны ACD куимпельӧсалысь плӧщадьсӧ, кольӧ ABC куимпельӧсалӧн плӧщадь.
SABD − SACD = SABC
Но ABD куимпельӧсалӧн плӧщадьыс лоӧ AFBD веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда, а ACD куимпельӧсалӧн плӧщадьыс AECD веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда. Сідзкӧ ABC куимпельӧсалӧн плӧщадьыс лоӧ AFBD да AECD веськыдпельӧса плӧщадьяс разносьт джын ыджда, мӧд ногӧн кӧ, BCEF веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда, кодлӧн (веськыдпельӧсаыслӧн) доръясыс a да b.
Гижам тайӧс тадзи:
SABD = ½ S AFBD
SACD = ½ SAECD
SABD − SACD = ½(SAFBD − SAECD)
либӧ:
SABC = ½ SBCEF = ½ ab.
Куимнан случаяс куимпельӧсалӧн плӧщадьыс равняйтчӧ подувтассӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан джын произведенньӧлы.
S∆ = ½ a·b (кв. единица)
5. Быд унапельӧсаӧс, шуам ABCDEF, позьӧ торйӧдлыны диагональясӧн, кыдзи петкӧдлӧма 96-ӧд серпас вылын, куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыслысь диагональяссӧ да судтаяссӧ мурталӧмӧн ми вермам артавны плӧщадьяссӧ став куимпельӧсаясыслысь, а сэсся корсьны налысь суммасӧ, сійӧ и лоӧ унапельӧсалӧн плӧщадьыс.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Мыйлы равняйтчӧ куимпельӧсалӧн плӧщадьыс?
2. Му пласт ABCD нёльпельӧса формаа (97-ӧд серпас), B да D пельӧсъясыс сылӧн веськыдӧсь. Доръясыс сылӧн: AB = 560 м, BC = 330 м, CD = 160 м да AD = 630 м. Артавны плӧщадьсӧ тайӧ му пластыслысь.
3. Чертитны кутшӧмкӧ куимпельӧса; муртавны сылысь доръяссӧ. Нуӧдны сылысь судтаяссӧ; муртавны найӧс, сэсся корсьны плӧщадьсӧ куимпельӧсаыслысь, подувтас пыддиыс босьтны войдӧр кутшӧмкӧ ӧти дорсӧ, сэсся мӧдсӧ, сэсся коймӧдсӧ. Ӧтластитны мӧда-мӧдыскӧд арталӧм результатъяссӧ.
4. Корсьны плӧщадьсӧ куимпельӧсалысь, подувтасыс кӧ сылӧн 3,5 м, судтаыс — 3,5 м.
5. Куимпельӧсалӧн плӧщадьыс 16,5 м². Судтаыс сылӧн 4,4 м. Корсьны сылысь подувтассӧ.
6. Куимпельӧса да квадрат ӧтгырсяӧсь (плӧщадьясыс налӧн ӧтыдждаӧсь); квадратыслӧн дорыс 4,8 м, куимпельӧсалӧн дорыс — 6,4 м. Корсьны куимпельӧсалысь сетӧм дорыслы соответствуйтысь судтасӧ.
VIII. ВЕСЬКЫД ПРИЗМАЛӦН ВЕРКӦС ДА ОБЪЁМ.
1 §. Куимпельӧса веськыд призмалӧн веркӧс.
98-ӧд серпас вылын сетӧма веськыд пельӧса параллелепипед, либӧ квайт граня брус; бок граньясыс сылӧн веськыдпельӧсаяс, а подувтасъясыс (A₁B₁C₁D₁ да A₂B₂C₂D₂) — ӧтыджда веськыдпельӧсаяс.
Нуӧдам подувтасъясас диагональяс — D₁B₁ да D₂B₂ — да мӧвпыштам, быттьӧкӧ параллелепипедсӧ сьӧдӧдӧминтіыс вундӧма шӧри. Лоӧм юкӧнъясыс — куим пельӧса веськыд призмаяс, быд призма лоӧ параллелепипедыслӧн джынйыс. Кыкнан призмаыслӧн подувтасъясыс лоӧны веськыд пельӧса куимпельӧсаяс, а бокӧвӧй граньясыс налӧн — веськыдпельӧсаяс.
Бокӧвӧй грань плӧщадьяслӧн (веськыдпельӧсаяслӧн) суммаыс шусьӧ призма бокӧвӧй веркӧсӧн; содтыны кӧ сы дінӧ кыкнан подувтасыслысь плӧщадьяссӧ, миян лоӧ тыр веркӧс призмалӧн.
Пасъям параллелепипедлысь куим (A₁B₁, A₁D₁ да A₁A₂) муртассӧ a, b да h шыпасъясӧн, диагональсӧ (B₁D₁) — d шыпасӧн, миян лоӧ: призмалӧн бокӧвӧй веркӧс:
ah + bh + dh = (a + b + d) · h = P · h,
кӧні P — призма подувтаслӧн периметр, а h — призмалӧн судта; тыр веркӧсыс призмалӧн:
(a + b + d) h + ab.
Куимпельӧса веськыд призмалы подувтасӧн вермас лоны любӧй куимпельӧса, не сӧмын веськыд пельӧса куимпельӧса. Веркӧсыс сылӧн артавсьӧ сідзи жӧ, кыдзи и воддза случаяс.
Веськыд призма подувтасӧн вермас лоны любӧй нёльпельӧса либӧ унапельӧса.
Сідз: веськыд призмалӧн бокӧвӧй веркӧсыс равняйтчӧ призмалысь подувтас периметрсӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.
2 §. Куим пельӧса веськыд призмалӧн объём.
Веськыд пельӧса параллелепипедлӧн объёмыс V = a · b · h, кӧні a, b да h — параллелепипедлӧн куим муртас, либӧ V = Q · h, кӧні Q — подувтасыслӧн плӧщадьыс да параллелепипедлӧн судтаыс.
Куим пельӧса веськыд призма, кодлӧн подувтасыс — веськыд пельӧса куимпельӧса (99-ӧд серпас), лоӧ веськыд пельӧса параллелепипед объёмлӧн джынйыс. Сідзкӧ объём
V = ½ abh = (½ ab) · h.
Куим пельӧса призмалӧн объёмыс, кодлӧн (призмаыслӧн) подувтасыс веськыд пельӧса куимпельӧса (a да b катетъясӧн), а судтаыс h, равняйтчӧ сійӧ подувтас плӧщадьсӧ (½ ab) судтаыс (h) вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.
Сідзкӧ медым артавны объём призмалысь, войдӧр колӧ артавны призма подувтасыслысь плӧщадьсӧ да лоӧм лыдсӧ ӧктыны судта вылас.
Видзӧдлам куим пельӧса призма, кодлӧн подувтасъясыс лоӧны произвольнӧй (но ӧткодь) куимпельӧсаяс (100-ӧд серпас). Нуӧдам быд куимпельӧсаын медыджыд пельӧс йывсяньыс судтаяс — B₁D₁ да B₂D₂ да ӧтлаалам D₁ да D₂ веськыд визьӧн. Сэки тайӧ призмаыс B₁D₁D₂B₂ веськыдпельӧса плоскосьтӧн вундыссьӧ куимпельӧса кык призмаӧ, кодлӧн подувтасъясыс веськыдпельӧса куимпельӧсаяс. Ӧти призмалӧн объёмыс
V₁ = Q₁ · h,
мӧд призмаыслӧн объёмыс
V₂ = Q₂ · h.
Сідзкӧ, став призмаыслӧн объёмыс:
V = V₁ + V₂ = Q₁h + Q₂h = (Q₁ + Q₂) · h.
Q₁ + Q₂ — лоӧ А₁B₁C₁ куимпельӧсалӧн плӧщадь. Пасъям сійӧс Q-ӧн. Сідзкӧ,
V = Q · h (куб. единица).
Любӧй куим пельӧса веськыд призмалӧн объёмыс (куб. единицаясӧн) равняйтчӧ призма подувтас плӧщадьсӧ (кв. единицаясӧн) судтаыс (линейнӧй единицаясӧн) вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.
Примечанньӧ. Объём, плӧщадь мурталӧм вылӧ босьтсьӧны ӧти нима муртасъяс; сэки веркӧсыс (плӧщадь) тӧдмассяс квадратнӧй единицаясӧн, а объёмыс сійӧ жӧ нима кубическӧй единицаясӧн.
3 §. Уна пельӧса веськыд призмалӧн объём.
Сетӧма кутшӧмкӧ уна пельӧса веськыд призма, шуам, квайт пельӧса (101-ӧд серпас).
Нуӧдам подувтас (унапельӧса) ӧти йывсянь диагональяс; найӧ торйӧдасны квайтпельӧсасӧ 4 куимпельӧса вылӧ. Тадзи жӧ вӧчам и мӧд подувтасыскӧд да торйӧдам квайт пельӧса призмасӧ 4 куим пельӧса призма вылӧ. Призмаясыслысь объёмъяссӧ пасъям: V₁, V₂, V₃, V₄, подувтас плӧщадьяссӧ налысь: Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, а ӧтувъя судтасӧ налысь — H пыр. Сэки призмаыслӧн став объёмыс:
V = V₁ + V₂ + V₃ + V₄ = Q₁H + Q₂H + Q₃H + Q₄H =
= (Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄) H.
Пасъям квайтпельӧсалысь подувтас плӧщадьсӧ Q-ӧн, лоӧ:
V = QH (куб. единица).
Сідзкӧ, любӧй веськыд призмалӧн объёмыс равняйтчӧ сійӧ подувтас плӧщадьсӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Гижтыны куим пельӧса веськыд призма бокӧвӧй веркӧслысь павтыртас; призмаыслӧн подувтасыс веськыд пельӧса куимпельӧса, кодлӧн катетъясыс 3 см да 4 см, гипотенузаыс 5 см; судтаыс H = 6 см.
2. Кыдзи артавны боковӧй веркӧссӧ да объёмсӧ веськыд призмалысь?
3. Кык ската вевт лэбъяс костын пельӧсыс веськыд (102-ӧд серпас); пасьтаыс быд лэблӧн 3,0 м, вевтыслӧн кузьтаыс 12 м. Корсьны вевтувса чардакыслысь объёмсӧ.
Индӧд. Чардакыс лоӧ куимпельӧса веськыд призма, судтаыс сылӧн 12 м, а подувъясыс веськыд пельӧса куимпельӧса, кодлӧн катетъясыс — 3 м да 3 м.
4. Кык ската сарай вевтлӧн судтаыс h = 4,0 м, стрӧпилӧ кокъяс костыс (вевтыслӧн пасьтаыс) a = 8,0 м, быд скатлӧн кузьтаыс b = 10 м, сарайыслӧн вевтӧдзыс судтаыс c = 5,0 м. Корсьны сарайыслысь объёмсӧ.
IХ. КЫТШВИЗЬЛӦН КУЗЬТА ДА КРУГЛӦН ПЛӦЩАДЬ.
1 §. Кытшвизьлӧн кузьта.
Муртавны кытшвизьлысь кузьтасӧ сідзи жӧ, кыдзи ми муртавлім вундӧглысь кузьта, оз позь, кытшвизьыд ӧд шыгыра визь, сылӧн абу ньӧти веськыд вундӧг. Кытшвизь кӧ эськӧ вӧлі небыдик сиӧн, сійӧс эськӧ позис вундыны да веськӧдны, а сэсся муртавны кузьтасӧ веськӧдӧм сиыслысь.
Кытшвизьлысь кузьтасӧ мурталігӧн ми вӧчам тадзи: босьтам кымынкӧ разнӧй диаметра пу цилиндр. Быд цилиндр топыда шымыртам бумага лентаӧн сідзи, медым лентаыслӧн ӧти помыс воис мӧд пом вылас, лента помъяс ӧтлаасянінсӧ сутшкам булавкаӧн. Булавкаыс вӧчас лента вылас 2 чут. Сэсся лентасӧ веськӧдам, кык розь костыс и петкӧдлас кытшвизьыслысь кузьтасӧ.
Тадзи вӧчам быд цилиндркӧд. Сэсся мурталам диаметрсӧ быд цилиндрлысь да арталам, кымын пӧв кытшвизьыслӧн кузьтаыс ыджыдджык диаметрсьыс; быд случайын миян лоӧ ӧткодь лыд — 3,14 гӧгӧр. Тайӧ петкӧдлӧ, мый кытшвизьлӧн кузьтаыс ыджыдджык аслас диаметрысь 3,14 пӧв.
Кузьтасӧ кӧ кытшвизьлысь пасъям C-ӧн, а диаметрсӧ сылысь D-ӧн, миян лоӧ формула:
C = 3,14 D.
Тайӧ формулаысь петӧ:
D = C/3,14.
Вӧчны кӧ тайӧ юкӧмсӧ — 1 : 3,14, миян лоӧ 0,318 гӧгӧр, либӧ 0,32; сідзкӧ:
D = 0,32 C.
1-ой пример. Бӧчка пыдӧслӧн диаметрыс 0,60 м. Корсьны пыдӧс кытшвизьлысь кузьтасӧ.
C = 3,14 · 0,60 = 1,9 м.
2-ӧд пример. Керлӧн кытшвизьыс 150 см. Корсьны керйыслысь диаметрсӧ.
D = 0,32 · 150 = 48 см.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Кутшӧм лоӧ кузьтаыс кытшвизьлӧн, диаметрыс кӧ сылӧн D?
2. Кыдзи сетӧм кытшвизь кузьта (C) серти корсьны сылысь диаметрсӧ? Сылысь радиуссӧ?
3. Кузьтаыс кытшвизьлӧн C — 28,6 см. Корсьны сійӧ 50°-са дугалысь кузьтасӧ.
4. Сетӧма кык концентрическӧй кытшвизь; ӧтиыслӧн диаметрыс D₁ = 15 см, мӧдыслӧн диаметрыс D₂ = 25 см. Тӧдмавны быд кытшвизьысь 10°-са дугалысь кузьтасӧ.
5. Кымынысь бергӧдчӧ 1 км кузьта туй мунігӧн велосипед кӧлеса, сылӧн кӧ диаметрыс 750 мм?
6. Паровоз кӧлеса бергӧдчис 290-ысь 1450 м кузьтаын. Корсьны кӧлесаыслысь диаметрсӧ.
7. Мулысь экватор кузьтасӧ 40000 км туйӧ босьтӧмӧн, артавны Муыслысь диаметрсӧ.
8. Диаметрыс цирк ареналӧн 15 м. Корсьны аренаыслысь кытшвизьсӧ.
5 §. Круглӧн плӧщадь.
Гижтам круг (103-ӧд серпас) да юкам сійӧс 4 ӧтыджда сектор вылӧ мӧда-мӧдыслы перпендикулярнӧй кык диаметрӧн. Сэсся быд сектор юкам 4 ӧтыджда юкӧн вылӧ. Тадзи став кругыс юксяс 16 ӧтыджда секторӧ. Вундам кругсӧ да вундалам секторъяссӧ, ӧти сектор нӧшта вундам шӧри; сэсся пукталам найӧс сідзи, кыдзи петкӧдлӧма 103-ӧд серпас вылын. Лоӧ веськыдпельӧса кодь фигура. Подувтасыс сылӧн лоӧ кытшвизьджын кузьта, а судтаыс радиусыс ыджда, либӧ диаметр джын ыджда. Юкны кӧ кругсӧ 32 ӧтыджда сектор вылӧ да пуктавны найӧс сідзи, кыдзи петкӧдлӧма 103-ӧд серпас а вылын, сэки миян бара артмас нӧшта на веськыдпельӧсаджык кодь фигура.
Та понда круглысь плӧщадьсӧ лыддьӧны веськыдпельӧса плӧщадькӧд ӧтыдждаӧн, кодлӧн (веськыдпельӧсаыслӧн) подувтасыс кытшвизьджын (C/2), а судтаыс — радиус (D/2). Пасъям круг плӧщадьсӧ K-ӧн, сэки миян лоӧ:
K = C/2 · D/2 = C·D / 4 = 1/4 C · D.
Но
C = 3,14 D,
сідзкӧ,
K = 3,14 D² /4 = 0,785 D² (кв. ед.).
Но
R = D/2,
а сы вӧсна
K = C/2 · D/2 = 3,14 R · R = 3,14 R² (кв. единица).
Сідзкӧ, круглӧн плӧщадьыс равняйтчӧ диаметр вылӧ ӧктӧм кытшвизь кузьта нёльӧд юкӧнлы, либӧ круглӧн плӧщадьыс равняйтчӧ 3,14 вылӧ ӧктӧм радиус квадратлы.
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Мыйлы равняйтчӧ круглӧн плӧщадьыс?
2. Круглӧн плӧщадьыс K = 240 см². Ыджыд-ӧ лоӧ плӧщадьыс секторыслӧн, дугаыс кӧ сылӧн 80°? 120°?
3. Гӧгрӧс кӧртлӧн диаметрыс 25 мм. Корсьны плӧщадьсӧ поперечнӧй сеченньӧыслысь.
4. Сетӧма круг да сылысь диаметрсӧ AB = 10 см. Круг пытшкас радиусъяс вылын вӧчӧма кругджынъяс (104-ӧд серпас) — диаметрсяньыс ӧтар-мӧдарас. Тӧдмавны сьӧдӧдӧм фигураыслысь периметрсӧ да плӧщадьсӧ.
5. Трубалӧн пытшкӧсса диаметрыс 12 мм, ортсыса диаметрыс сылӧн 16 мм. Корсьны плӧщадьсӧ труба поперечнӧй сеченньӧлысь. Вӧчны серпас.
Х. ЦИЛИНДРЛӦН ВЕРКӦС ДА ОБЪЁМ.
1 §. Цилиндрлӧн веркӧс.
Босьтам цилиндр (165-ӧд серпас) да топыда шымыртам сійӧс бумагаӧн. Сэсся пурт йылӧн вундам бумагасӧ линейка кузя (линейкаыс медым топыда вӧлі водӧма веркӧс вылас) да павтыртам сійӧс плоскӧй веркӧс вылын. Миян лоӧ веськыдпельӧса, плӧщадьыс сылӧн лоӧ цилиндр бокӧвӧй веркӧс ыджда. Веськыдпельӧсалӧн подувтасыс лоӧ цилиндр подувтас C кытшвизь кузьта, а судтаыс — цилиндр H судта. Сідзкӧ,
цилиндрлӧн бокӧвӧй веркӧсыс лоӧ сійӧ судта вылӧ ӧктӧм подувтас кытшвизь ыджда.
бокS = C · H = 3,14 · D · H = 6,28 RH (кв. единица).
Цилиндрлысь тыр веркӧссӧ арталігӧн сійӧ бок веркӧс дінӧ колӧ содтыны кыкнан подувтасыслысь плӧщадьяссӧ.
Пример. Цилиндр подувтаслӧн диаметрыс 20,0 см, а судтаыс сылӧн 55,0 см. Артавны сылыс веркӧссӧ.
Бок веркӧсыс лоӧ 3,14 · 20 · 55 = 3454 ≈ 3450 см².
Подувтасыслӧн (круглӧн) плӧщадьыс — 3,14 · 10² = 314 см².
Сідзкӧ тыр веркӧсыс цилиндрлӧн
тырC = 3450 + 2 · 314 = 3450 + 628 = 4078 ≈ 4080 см².
2 §. Цилиндрлӧн объём.
Сетӧма цилиндр (106-ӧд серпас). Торйӧдам сы пытшкын неыджыд призма; подувтасыс призмаыслӧн — куимпельӧса либӧ нёльпельӧса, а судтаыс — цилиндр судта. Призмалӧн объёмыс — сійӧ подувтас плӧщадь да судта произведенньӧ ыджда. Мӧвпыштам, быттьӧкӧ став цилиндрсӧ тыртӧма татшӧм призмаясӧн, сэки цилиндрлӧн объёмыс лоӧ тайӧ став призма объёмъяс сумма ыджда. Тайӧ став призмаясыслӧн судтаыс ӧти (ӧткодь). Сідзкӧ колӧ содтыны (босьтны) став призма подувтасъясыслысь плӧщадьяссӧ — суммаыс налӧн лоӧ цилиндр подувтас плӧщадь ыджда — да ӧктыны тайӧ плӧщадьсӧ судта вылас.
Сідзкӧ,
цилиндрлӧн объёмыс равняйтчӧ сійӧ подувтас плӧщадьсӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.
B = Q · h = 3,14 R²H (куб. единица).
Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.
1. Кутшӧм фигура артмӧдӧ цилиндрлӧн бокӧвӧй веркӧс павтыртасыс?
2. Мыйлы равняйтчӧ цилиндрлӧн бокӧвӧй веркӧсыс?
3. Мый ыджда лоӧ цилиндрлӧн объёмыс?
4. Цилиндр подувтаслӧн диаметрыс D = 20 см. Цилиндрлӧн судтаыс H = 40 см. Корсьны цилиндрлысь тыр веркӧссӧ.
5. Цилиндрлӧн ыдждаясыс: D = 1,2 м, H = 1,5 м. Артавны цилиндрлысь объёмсӧ.
6. 3,0 дм да 4,5 дм доръяса веськыдпельӧсаӧс кусыньтісны цилиндрӧ. Артавны цилиндрыслысь объёмсӧ (кык случай).
МУРТӦСЪЯС ТАБЛИЧА.
I. Кузьта муртӧсъяс
1 километр (км) = 1000 метрлы (м)
1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм
1 дм = 10 см = 100 мм
1 см = 10 мм
II. Веркӧс муртӧсъяс
1 км² = 1 000 000 м² = 100 гектарлы (га)
1 га = 100 а = 10 000 м²
1 а = 100 м²
1 м² = 100 дм² = 10 000 см²
1 дм² = 100 см²
1 см² = 100 мм²
III. Объём муртӧсъяс
1 м³ = 1000 дм³ = 1 000 000 см³
1 дм³ = 1000 см³ = 1 000 000 мм³
1 см³ = 1000 мм³
IV. Сьӧкта муртӧсъяс
1 метрич. тонна (т) = 10 центнер (c) = 1000 кг
1 ц = 100 кг
1 кг = 1000 г.
V. Сыпучӧй да кизьӧр телӧяс объём муртӧсъяс
1 литр (л) — объёмыс 1 дм³
1 гектолитр (гл) = 100 л.
ӦТВЕТЪЯС
7 лист боклы.
4. Ӧтсямалун (сходство): 1) кыкнансӧ ограничитӧма 6 граньӧн, 2) кыкнаныслӧн 12 дорыш да 8 йыв; торъялӧм: кублӧн граньяс — квадратъяс, ставыс ӧтыдждаӧсь, веськыдпельӧса параллелепипедлӧн граньяс — веськыдпельӧсаяс да гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь; кублӧн став муртасыс ӧтыджда, параллелепипедлӧн муртасъясыс разнӧйӧсь.
Куб — параллелепипедлӧн частнӧй случай.
5. Ӧтсямалун: кыкнаныс нёльпельӧсаяс, пельӧсъясыс налӧн ставыс ӧтыдждаӧсь; торъялӧм: квадратлӧн став дорыс ӧтыджда, веськыдпельӧсалӧн доръясыс гозйӧн ӧтыдждаӧсь. Квадрат — веськыдпельӧсалӧн частнӧй случай.
7. Да, брус — сійӧ частнӧй случай призмалӧн, а куб, кыдзи частнӧй случай бруслӧн, лоӧ и призмалӧн частнӧй случай.
9. Квайт пельӧса призмалӧн 8 грань: 6 бокӧвӧй грань да 2 подувтас грань; 18 дорыш: 6 бокӧвӧй дорыш да 6 дорышӧн быд подувтаслӧн, да 12 йыв: 6 йылӧн быд подувтаслӧн.
15 лист боклы.
1. a + b = 9,9 см = 99 мм.
2. a + b + b = 8,9 см.
6. a > b, сэки разносьтыс лоӧ a − b; a < b, сэки разносьтыс лоӧ b − a.
7. b вундӧг a вундӧгын лоӧ 4,4 пӧв.
13. a = (n + m)/2; b = (n − m)/2.
18−19 лист боклы.
2. 1 а = 100 кв. м, а сідзкӧ, соответствуйтысь квадратыслӧн дорыс — 10 м. 1 га = 10 000 кв. м, сідзкӧ, соответствуйтысь квадратыслӧн дорыс лоӧ 100 м.
4. Ыдждӧдны кӧ h-сӧ 2 пӧв, сэк плӧщадьыс ыдждӧ 2 пӧв; ичӧтмӧдны кӧ h-сӧ 3 пӧв, плӧщадьыс ичӧтмӧ 3 пӧв жӧ.
7. 1) 13,5 кв. см; 2) 2,23 кв. м; 3) 112 кв. мм ≈ 110 кв. мм; 4) 0,17 кв. м; 5) 25 000 кв. м = 250 а = 2,5 га; 6) 2,158 кв. км.
8. 1008 а.
9. 250 м.
10. Квадратлӧн периметрыс = 600 м, веськыдпельӧсалӧн периметрыс 650 м, сідзкӧ сійӧ 50 м-ӧн ыджыдджык квадрат периметрысь, сідзкӧ и потшӧсыс веськыдпельӧса му пластыслы ковмас кузьджык 50 м-ӧн.
11. 1) 56 кв. см; 2) 29,8 см; 3) 4 мм; 4) 192 кв. см; 5) 50 м.
12. 1) 6 м; 2) 15 см; 3) 1,2 м.
13. 1,2 кв. м.
22−23 лист боклы.
1. 1) Sb = 36 кв. см; St = 54 кв. см; 2) Sb = 400 кв. см; St = 600 кв. см; 3) Sb = 4n² кв. см; St = 6n² кв. см.
3. 2 · (8 + 5) · 3 = 78 кв. см, либӧ 2 · (8 + 3) · 5 = 110 кв. см, либӧ 2 · (5 + 3) · 8 = 128 кв. см.
4. 1) ≈ 270 кв. см; ≈ 420 кв. см; 2) ≈ 1,5 кв. м; ≈ 2,2 кв. м; 3) ≈ 7,3 кв. м; ≈ 15,4 кв. м; 4) ≈ 60 кв. см; ≈ 65 кв. см; 5) ≈ 20 кв. м; ≈ 36 кв. м.
24−25 лист боклы.
3. 2160 куб. см; ≈ 2,2 куб. дм. 5. Чинасны (содасны) 16 пӧв. 8. 729 куб. см. 7. 64 кв. см; 96 кв. см. 8. 3 м. 9. 4104 куб. см; ≈ 4100 куб. см. 10. 0,70 куб. м. 11. ≈ 280 кг. 12. ≈ 2200 кӧрӧб. 13. 1) 1000 куб. см; 2) 4 куб. дм; 3) 1000 л. 14. 30 л. 15. 90 гл. 18. Залыслӧн кузьтаыс 50 м; судтаыс 5 м.
28 лист боклы.
2. 3,3 см. 3. Чутъяс, кодъяслӧн костыс шӧрчутсяньыс 6 см, лоӧны кытшвизь саяс; шӧрчутсяньыс 3 см коста чутъяс лоӧны кытшвизь пытшкас, шӧрчутсяньыс 4 см коста чутъяс лоӧны кытшвизь вылас.
29−30 лист боклы.
1. 7,8 см; 19,5 см.
2. Квайт ӧтыджда дуга вылӧ. Квайтпельӧса.
3. Помтӧм уна диаметр. Став диаметрыс мӧда-мӧдныскӧд ӧтыдждаӧсь.
4. Кык диаметр юкӧны мӧда-мӧднысӧ шӧри.
6. Медыджыд хордаыс лоӧ 21 см.
7. 6 см.
33−34 лист боклы.
1. Ёсь пельӧс; веськыд пельӧс; тшӧтшыд пельӧс; паськӧдӧм пельӧс.
6. Веськыдпельӧса либӧ квадрат.
36 лист боклы.
4. 1/90 веськыд пельӧслӧн шусьӧ пельӧс градусӧн.
6. 1) 30°; 2) 150°.
40 лист боклы.
4. 22°30′. 5. 45°25′, да 33°5′. 6. 50°5′ да 39°55′. 7. 40° да 140°. 8. 59°20′ да 120°40′. 9. 40° либӧ 140°. 11. 69°35′ да 110°25′.
42 лист боклы.
2. 60° да 30°, 90°.
46 лист боклы.
2. 1428 а. 4. ≈ 6,1 кв. м. 6. 7,2 м
49 лист боклы.
3. 54 куб. м. 4. 560 куб. м.
50 лист боклы.
3. ≈ 4,0 см. 4. 1,3 см да 2,2 см.
5. 400-ысь уна (425). 6. 1,6 м. 7. 12 730 км. 8. 47 м
52 лист боклы.
2. 53 кв. см; 80 кв. см. 3. 4,9 кв. см.
4. Периметрыс равняйтчӧ кытшвизь кузьталы 31 см, плӧщадьыс — круг плӧщадь джын ыджда 3,9 кв. см.
5. 28 π кв. мм.
53 лист боклы.
4. 1000 π кв. см. 5. 540 π куб. дм.
6. 3,2 куб. дм, 4,9 куб. дм.
